2014年《线性代数》期中试题 考试时间:90分钟2014年11月 学号 姓名 成绩 题 (12) 四(8) 五(12) (8) 分 得分 判断下列命题是否正确(每小题2分,总计20分) (1)[]A为n阶实反对称矩阵,则det(A)=0 0 A (2)[]设A∈Rm×m,B∈Rn×n,C∈Rmxn,则矩阵 的行列式为 det(a)det (B) (3)[]矩阵A,B为n阶方阵,det(AB)=0当且仅当det(A)=0或det(B)=0. (4)[]设n阶方阵A的行列式不为零,A·为A的伴随矩阵,则dt(A))=det(A)0-1). (5)[]设A,B为n阶实对称阵,则A+B和AB也是实对称阵 (6)[]设n阶矩阵A可逆,其逆阵记为A-1,若交换矩阵A的第i和j(i≠列后矩阵记为An, 则A;的逆阵等于将A-1交换第i和j行 (7)[]A,B.C均为n阶方阵,若AB=AC,且A≠0,则B=C (8)[]设A={a1a,……,an}和B={bb,…,br}分别是m×1和n×1的两组向量,而且向 量组A和B各自线性相关,则(m+m)×1的向量组C b1 线性相关 (9)[]设A为m×n矩阵,与非齐次线性方程组Ax=b相应的齐次线性方程组为Ax=0,若 Ax=b不相容,则Ax=0只有零解 (0[设A为任意mxn矩阵,且mk(A)=r,则mak(AA)= 二.选择题(每小题4分,总计40分) (1)设行列式a1a12 a13a11 y则行列式12+0 13 a21a22+a23 A.x+yB.-(x+y)C.y-xD.x-yE.A-D均不正确 12 (2)设矩阵A=10-1,A是A的伴随矩阵,则A*中的第1行第2列元素是 a a (3)设矩阵A 1 a a 若rank(A)=1,则a为 aaa l A.2B.1C.42014年《线性代数》期中试题 考试时间: 90 分钟 2014年11月 学号: 姓名: 成绩: 题号 一(20) 二(40) 三(12) 四(8) 五(12) 六(8) 总分 得分 一. 判断下列命题是否正确(每小题2分,总计20分) (1) [ ]A 为 n 阶实反对称矩阵, 则 det (A) = 0. (2) [ ]设 A ∈ R m×m, B ∈ R n×n , C ∈ R m×n , 则 矩 阵 " 0 A B BC # 的 行 列 式 为 (−1)mn det (A) det (B). (3) [ ]矩阵 A, B 为 n 阶方阵, det (AB) = 0 当且仅当 det (A) = 0 或 det (B) = 0. (4) [ ]设 n 阶方阵 A 的行列式不为零, A∗ 为 A 的伴随矩阵, 则 det ((A∗ ) ∗ ) = det (A) (n−1)2 . (5) [ ]设 A, B 为 n 阶实对称阵, 则 A + B 和 AB 也是实对称阵. (6) [ ]设 n 阶矩阵 A 可逆, 其逆阵记为 A−1 , 若交换矩阵 A 的第 i 和 j(i 6= j) 列后矩阵记为 Aij , 则 Aij 的逆阵等于将 A−1 交换第 i 和 j 行. (7) [ ]A, B, C 均为 n 阶方阵, 若 AB = AC, 且 A 6= 0, 则 B = C. (8) [ ]设 A = {a1, a2, . . . , ar} 和 B = {b1, b2, . . . , br} 分别是 m × 1 和 n × 1 的两组向量, 而且向 量组 A 和 B 各自线性相关, 则 (m + n) × 1 的向量组 C = (" a1 b1 # , " a2 b2 # , . . . , " ar br #) 必 线性相关. (9) [ ]设 A 为 m × n 矩阵, 与非齐次线性方程组 Ax = b 相应的齐次线性方程组为 Ax = 0, 若 Ax = b 不相容, 则 Ax = 0 只有零解. (10) [ ]设 A 为任意 m × n 矩阵, 且rank (A) = r, 则 rank  AT A  = r. 二. 选择题(每小题4分,总计40分) (1) 设行列式      a11 a12 a21 a22      = x,      a13 a11 a23 a21      = y, 则行列式      a11 a12 + a13 a21 a22 + a23      为 . A. x + y B. −(x + y) C. y − x D. x − y E. A—D均不正确 (2) 设矩阵A =    3 −1 2 1 0 −1 −2 1 4   , A∗ 是 A 的伴随矩阵, 则 A∗ 中的第 1 行第2 列元素是 . A. 6 B. −2 C. −6 D. 2 (3) 设矩阵A =      1 a a a a 1 a a a a 1 a a a a 1      , 若 rank (A) = 1, 则 a 为 . A. 2 B. 1 C. 4 D. 3