￡=(1,0,0，-1)在1,2，s,4下的坐标 1-1-11 解：(1)T= -1121 1013/ /-1-5-5 1-5r2-53+4r4 20 21+2x-2z4 T3 一4 -2x1-42-4r3+4红4 133-2/ ，z1+3z2+3x3-2z4 /1001Y 3 11-11 5 0101 ξ在所给基下的坐标为高 0。 1 4 (3)T= ,ξ在所给基下的坐标为 0-1 3 3.继上题（②），求一向量，它在基c1,2,c4,4下的坐标是在基1,2，B,4下的坐标的2倍， 解：1+2+3+n4=(0.4.2.6). 4.设K[回n表示由K[国中次数小于n的多项式组成的线性空间。 f(x）=(c-a1小…(e-a4-1)(x-a4+1)小…(e-a）,i=1,…,n 其中a∈K(位=1,2，…，n)为互不相同的数 (1)证明1(a,f2(e),…,fn(x)组成K回n的一个基 (2)取a1,2,…,an为全体n次单位根，求由基1，x,x2,…,x-1到基(，(，…，n()的过 渡矩阵 解()只要证(，2()，…，∫n()线性无关即可.设 kfi()+kf()+…+knfn(回)=0， 分别以x=a,代入上式，得 kifi(ai)=0. 因为f(a)≠0，所以=0，i=l,2.…,n.故f(),f(,…,n()线性无关.又因dimK=n,可 知(c),f(z),…,n(x)为Kn的基 (②)设全部n次单位根是1，c1,…,cn-1则 i--二--1+-2+-3+…+- T-Ei 故所求过渡矩阵为 / 1-2 1… 1 5.在K回中，记 )°=1，)=，()=x(-10（红-2…（红-k+1,k>1 (1)求K中由基1，(，(2，()3，回到基1，，x2,x3,x的过渡矩阵 ξ = (1, 0, 0, −1)  η1, η2, η3, η4 . : (1) T =   2 0 −1 2 1 −1 −1 1 −1 1 2 1 1 0 1 3   ,   y1 y2 y3 y4   = T −1   x1 x2 x3 x4   = 1 2   −1 −5 −5 4 2 0 2 −2 −2 −4 −4 4 1 3 3 −2     x1 x2 x3 x4   = 1 2   −x1 − 5x2 − 5x3 + 4x4 2x1 + 2x3 − 2x4 −2x1 − 4x2 − 4x3 + 4x4 x1 + 3x2 + 3x3 − 2x4   . (2) T =   1 0 0 1 1 1 −1 1 0 1 0 1 0 0 2 0   , ξ &, 1 13   3 5 −2 −3   . (3) T = 1 4   3 6 3 −1 1 0 1 3 −1 2 1 −1 1 0 −1 −1   , ξ &,   −2 4 −5 3   . 3. -./ (2), *+, 0 ε1, ε2, ε3, ε4 1 η1, η2, η3, η4  2 2. : η1 + η2 + η3 + η4 = (0, 4, 2, 6). 4.  K[x]n 34 K[x] (5678 n 9:;<=  . fi(x) = (x − a1)· · ·(x − ai−1)(x − ai+1)· · ·(x − an), i = 1, · · · , n, >( ai ∈ K (i = 1, 2, · · · , n) ?@AB6. (1) : f1(x), f2(x), · · · , fn(x) <= K[x]n ; (2) C a1, a2, · · · , an DE n 5FGH,  1, x, x2 , · · · , xn−1  f1(x), f2(x), · · · , fn(x)  . : (1) IJ f1(x), f2(x), · · · , fn(x) KLM!.  k1f1(x) + k2f2(x) + · · · + knfn(x) = 0, NO' x = ai PQ.;, R kifi(ai) = 0.  fi(ai) 6= 0, &' ki = 0, i = 1, 2, · · · , n. S f1(x), f2(x), · · · , fn(x) KL. T dim K[x]n = n, ! U f1(x), f2(x), · · · , fn(x)  K[x]n . (2) DV n 5FGH1 1, ε1, · · · , εn−1. fi(x) = x n − 1 x − εi = x n − ε n i x − εi = x n−1 + εix n−2 + ε 2 i x n−3 + · · · + ε n−1 i , S&   1 ε n−1 1 · · · ε n−1 n−1 1 ε n−2 1 · · · ε n−2 n−1 . . . . . . . . . . . . 1 1 · · · 1   . 5.  K[x] (, W hxi 0 = 1,hxi = x,hxi k = x(x − 1)(x − 2)· · ·(x − k + 1), k > 1 (1)  K[x]5 ( 1,hxi,hxi 2 ,hxi 3 ,hxi 4  1, x, x2 , x3 , x4 ; · 2 ·