习题解答 第七章线性变换 习题7-1 1.设V为n维线性空间，m,2,…,为V的一个基 01=h+2十…+m:2=2+…+…,am= (1)证明：a1,2,…,an为V的一个基 (②)求由基m,2, ,m到基a1,2,,am的过渡矩阵 (3)设a在基1,2，…，m下的坐标为(a1,a2,…,an,求a在基a1,a2,…,an下的坐标 解：()，（②）因为 (a1,02,…,an)=(e1,e2,…,en) 11.1/ 0… 11.,.1 则T可逆，从而a1,a2,…,an为V的基且由基c1,c2…,cn到基a1,a2,·,an的过渡矩阵为T. (3)设 a=(61,2,…,cn) a a=(a1,a2,…,an)A1 所以a在基a1,a2,…,an下的坐标为(a1,2-a1,3-a2, an an-1). 2.在K4中，求由基e1,2,S3,4到基1,2%，4的过渡矩阵，并求向量5在所给基下的坐标 (1)=(1,0,0,0),e2=(0,1,0,0),e3=(0,0,1,0),e4=(0,0.0,1月 m=(2.1.-1.1).2=(0.-1.1.0).3=(-1.-1.2.1).m4=(2.1,1.3): =(1,x2,x3,x4)在h,2,%,4下的坐标 (261=(1,2,-1,0,2=(1,-1,1,1),3=(-1,2,1,1),4=(-1,-1,0,1 m=(2,1,0,1),2=(0,1,2,2),g=(-3,-1,-1,1)4=(1,3,1,2: 5=(L,0,0,0)在61，2,e4下的坐标 (3)e1-(1,1,1,1,c2=(1,1,-1,-1),3=(1,-1,1,-1),e4=(1,-1,-1,1 m=(1,1,0,1)2=(2,1,2,1),g=(1,1,1,0,=(0,1,-1,-1月 1￾
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7–1 1.  V  n  , η1, η2, · · · , ηn  V . α1 = η1 + η2 + · · · + ηn, α2 = η2 + · · · + ηn, · · · , αn = ηn (1) : α1, α2, · · · , αn  V ; (2)  η1, η2, · · · , ηn  α1, α2, · · · , αn ; (3)  α  η1, η2, · · · , ηn  (a1, a2, · · · , an),  α  α1, α2, · · · , αn . : (1), (2)  (α1, α2, · · · , αn) = (ε1, ε2, · · · , εn)   1 0 · · · 0 1 1 · · · 0 . . . . . . . . . . . . 1 1 · · · 1   ,  T =   1 0 · · · 0 1 1 · · · 0 . . . . . . . . . . . . 1 1 · · · 1   , T !", #$ α1, α2, · · · , αn  V , % ε1, ε2, · · · , εn  α1, α2, · · · , αn  T. (3)  α = (ε1, ε2, · · · , εn)   a1 . . . an   , α = (α1, α2, · · · , αn)A −1   a1 . . . an   , &' α  α1, α2, · · · , αn  (a1, a2 − a1, a3 − a2, · · · , an − an−1). 2.  K4 (,  ε1, ε2, ε3, ε4  η1, η2, η3, η4 , )*+ ξ &,. (1) ε1 = (1, 0, 0, 0), ε2 = (0, 1, 0, 0), ε3 = (0, 0, 1, 0), ε4 = (0, 0, 0, 1); η1 = (2, 1, −1, 1), η2 = (0, −1, 1, 0), η3 = (−1, −1, 2, 1), η4 = (2, 1, 1, 3); ξ = (x1, x2, x3, x4)  η1, η2, η3, η4 ; (2) ε1 = (1, 2, −1, 0), ε2 = (1, −1, 1, 1), ε3 = (−1, 2, 1, 1), ε4=(−1, −1, 0, 1); η1 = (2, 1, 0, 1), η2 = (0, 1, 2, 2), η3 = (−3, −1, −1, 1), η4 = (1, 3, 1, 2); ξ = (1, 0, 0, 0)  ε1, ε2, ε3, ε4 ; (3) ε1 = (1, 1, 1, 1), ε2 = (1, 1, −1, −1), ε3=(1, −1, 1, −1), ε4=(1, −1, −1, 1); η1 = (1, 1, 0, 1), η2 = (2, 1, 2, 1), η3 = (1, 1, 1, 0), η4 = (0, 1, −1, −1); · 1 ·