第五章二次型 §1二次型的矩阵表示 教学目标掌握二次型、线性替换、二次型的矩阵、矩阵合同的概念；二次型的矩阵表示 教学重点：二次型分的概念、二次型的矩阵表示 教学方法：讲授法 教学过程 定义1设P是一数域.an∈P1≤i<j≤n)称n元二次齐次多项式 fx,x2,.,x)=a1+2a23+.+2ax +a2z+.+2a2nmx2xn E13EA 为数域P上的一个n元二次型，简称二次型. 例如 +2+3x5+2x+4xx+3x 就是0上的-个三元二次型（其中系数4：=24：=24=2） 定义2设c,∈P1≤i,j≤m),称关系式 x=Gy+C2乃2+.+Cyn (2) 。=C+Cn2h+.+cm 为由x,.,x,到片，.，y的一个线性替换简称线性替换如果系数行列式c≠0，则称线性替换(2)为 非退化的 容易看出，若把(2)代入(1)，就得到变元为片，·，y的二次型，换言之，线性替换把二次型变为二次 第五章二次型 §1 二次型的矩阵表示 教学目标: 掌握二次型、线性替换、二次型的矩阵、矩阵合同的概念；二次型的矩阵表示. 教学重点: 二次型分的概念、二次型的矩阵表示. 教学方法: 讲授法. 教学过程: 定义 1 设 P 是一数域. (1 ) ij a P i j n     称 n 元二次齐次多项式 2 1 2 11 1 12 1 2 1 1 ( , , , ) 2 2 n n n f x x x a x a x x a x x = + + + 2 22 2 2 2 2 n n + + + a x a x x 2 nn n +a x (1) 为数域 P 上的一个 n 元二次型,简称二次型. 例如 2 2 2 1 1 2 1 3 2 2 3 3 x x x x x x x x x + + + + + 3 2 4 3 就是 Q 上的一个三元二次型(其中系数 12 13 23 1 3 , , 2 2 2 a a a = = = ). 定义 2 设 (1 , ), ij c P i j n    ,称关系式 1 11 1 12 2 1 2 21 1 22 2 2 1 1 2 2 n n n n n n n nn n x c y c y c y x c y c y c y x c y c y c y  = + + +   = + + +     = + + + (2) 为由 1 , , n x x 到 1 , , n y y 的一个线性替换,简称线性替换.如果系数行列式 0 ij c  ,则称线性替换(2)为 非退化的. 容易看出,若把(2)代入(1),就得到变元为 1 , , n y y 的二次型,换言之,线性替换把二次型变为二次 型