解:因 1-A)(I+A+A2+…+A4-) =I+A+A2+…+Ak-1 A+A2 I-Ak=I 所以,(I-A)-1=I+A+A2+…+Ak-1 (11)设n阶方阵A,B满足A+B=AB (a)证明:A-I可逆 (b)证明:AB=BA 120 (c)若B=340,求A 证:(a)因0=AB-B-A,等式两端同时加上单位阵I得 I=I-A-(I-AB=(I-A)(I-B=(A-I)(B-I 因此A-I可逆,且(A-D)-1=B-I (b)由等式A+B=AB可得A=(A-I)B,同时对等式A+B=AB两边右乘矩阵A, 得 A2+BA=ABA →BA=ABA-A2=A(B-IA →BA=A(B-D(A-1B=AB c)因A-I=(B-D)-,先求(B-I)-1 B-II 030 0043 001 21 0 0101/200 0010 /21/3 A=B-1+I /2 00/ (12)设a是n×1向量,设A=I-aa,证明 (a)A2=A当且仅当aa=1 (b)当aa=1时,A是不可逆矩阵解: 因 (I − A)  I + A + A2 + · · · + Ak−1  = I +A + A2 + · · · + Ak−1 −A + A2 − · · · − Ak−1 − Ak = I − Ak = I 所以, (I − A) −1 = I + A + A2 + · · · + Ak−1 . (11) 设 n阶方阵A, B 满足 A + B = AB. (a) 证明: A − I 可逆. (b) 证明: AB = BA. (c) 若 B =    1 2 0 3 4 0 0 0 5   , 求A. 证: (a) 因 0 = AB − B − A, 等式两端同时加上单位阵 I 得: I = I − A − (I − A) B = (I − A) (I − B) = (A − I) (B − I) 因此 A − I 可逆, 且 (A − I) −1 = B − I. (b) 由等式 A + B = AB 可得 A = (A − I) B, 同时对等式 A + B = AB 两边右乘矩阵 A, 得 A2 + BA = ABA ⇒ BA = ABA − A2 = A (B − I) A ⇒ BA = A (B − I) (A − I) B = AB (c) 因 A − I = (B − I) −1 , 先求 (B − I) −1 : h B − I I i =    0 2 0 1 0 0 3 3 0 0 1 0 0 0 4 0 0 1    →    1 0 0 −1/2 1/3 0 0 1 0 1/2 0 0 0 0 1 0 0 1/4    A = (B − I) −1 + I =    1/2 1/3 0 1/2 1 0 0 0 5/4    (12) 设 a 是 n × 1向量, 设 A = I − aaT , 证明: (a) A2 = A 当且仅当 a T a = 1. (b) 当 a T a = 1 时, A 是不可逆矩阵