证(必要性,A2=1-2n2+(ana)a=A=Ia,所以 aa 0 又因a≠0→aa-1=0→a7a=1 充分性”,因a7a=1,所以 A2=(1-an)(I-an) A (b)(反证法),假设A可逆,它的逆阵记为A-1 另外,当aa=1时,有A2=A,所以 但当a≠0时,A≠I,所以与前提矛盾 (13)设矩阵 22-1 求矩阵X,使得AX=A+X 解:根据条件可得(A-1X=A 2-1 00 102 100 10 1-12 因det(A)=-1≠0,所以A-I可逆,并求得 147-3 (A-I 531 求得 545 (14)设矩阵 10 110 矩阵X满足AXA+BXB=AXB+BXA+I,求X.证: (a)“必要性”, A2 = I − 2aaT +  a T a  aaT = A = I − aaT , 所以,  a T a − 1  aaT = 0 又因a 6= 0 ⇒ a T a − 1 = 0 ⇒ a T a = 1 “充分性”, 因 a T a = 1, 所以 A2 =  I − aaT  I − aaT  = I − 2aaT + aaT = A (b) (反证法), 假设 A 可逆, 它的逆阵记为 A−1 . 另外, 当 a T a = 1 时, 有 A2 = A, 所以 I = A−1A = A−1A2 = A 但当 a 6= 0 时, A 6= I, 所以与前提矛盾. (13) 设矩阵 A =    2 2 −1 −1 0 2 2 7 1    求矩阵 X, 使得 AX = A + X. 解: 根据条件可得 (A − I) X = A, A − I =    2 2 −1 −1 0 2 2 7 1    −    1 0 0 0 1 0 0 0 1    =    1 2 −1 −1 −1 2 2 7 0    因 det (A) = −1 6= 0, 所以 A − I 可逆, 并求得 (A − I) −1 =    14 7 −3 −4 −2 1 5 3 1    求得 X = (A − I) −1 A =    15 7 −3 −4 −1 1 5 3 0    (14) 设矩阵 A =    1 0 0 1 1 0 1 1 1    , B =    0 1 1 1 0 1 1 1 0    矩阵 X 满足 AXA + BXB = AXB + BXA + I, 求X