解:由原方程得 AXA-AXB+BXB-BXA=I A(XA-XB)-B(XA-XB=I (ABX(A-B)=I 因A-B=01-1可逆,所以 x=(A-B)2=011 012 001 (15)设矩阵 12-3-2 1201 012-3 B= 0001 0001 矩阵X满足(2I-B-1A)XT=B-1,求X 解:原方程两端左乘矩阵B,得: 2B-A)X= 由方程知,2B-A可逆,则 1 2100 2100 X=(2B1-A 3210 1-210 (6)设矩阵A=4t3,B为3×3非零矩阵,且AB=0求t的值 解:AB=0,且要求B≠0,则矩阵rank(A)<3,即 (A)=7t-21=0→t=3 (17)分块矩阵 A A21A22 12中A1,A2分别是m阶和n阶方阵,设A1可逆,求矩阵X,Y使 I0A10 22 0 S 0 称矩阵S为A11的 Schur补,同样,当A22逆时,可求得A22的 Schur补解: 由原方程得: AXA − AXB + BXB − BXA = I ⇒ A (XA − XB) − B (XA − XB) = I ⇒ (A − B) X (A − B) = I 因 A − B =    1 −1 −1 0 1 −1 0 0 1    可逆, 所以 X = (A − B) −2 =    1 1 2 0 1 1 0 0 1    2 =    1 2 5 0 1 2 0 0 1    (15) 设矩阵 A =      1 2 −3 −2 0 1 2 −3 0 0 1 2 0 0 0 1      , B =      1 2 0 1 0 1 2 0 0 0 1 2 0 0 0 1      矩阵 X 满足 ￾ 2I − B−1A
XT = B−1 , 求X. 解: 原方程两端左乘矩阵 B, 得: (2B − A) XT = I 由方程知, 2B − A 可逆, 则 X =  2B T − AT −1 =      1 0 0 0 2 1 0 0 3 2 1 0 4 3 2 1      −1 =      1 0 0 0 −2 1 0 0 1 −2 1 0 0 1 −2 1      (16) 设矩阵 A =    1 2 −2 4 t 3 3 −1 1   , B 为3 × 3 非零矩阵, 且 AB = 0, 求 t 的值. 解: AB = 0, 且要求 B 6= 0, 则矩阵 rank (A) < 3, 即 det (A) = 7t − 21 = 0 ⇒ t = 3 (17) 分块矩阵 " A11 A12 A21 A22 # 中 A11, A22 分别是 m 阶和 n 阶方阵, 设A11 可逆, 求矩阵X, Y,S 使 得 " A11 A12 A21 A22 # = " I 0 X I # " A11 0 0 S # " I Y 0 I # 称矩阵S为A11 的Schur补, 同样, 当A22可逆时, 可求得 A22 的Schur补