弹性力的元功,由(13-1)得 dw=F dr=-k(r-lo) 考虑到 d(r-r)=da 所以有dW=-k(r-b)dr,当质点从M运动到M时 弹性力的功为 图13-4 dW=-(r-b)dr=5(-b)-(2-l 61=r-l0,2=2-b 分别表示弹簧在初始和末了位置时的变形量,弹性力的功可简写为 02) (13-9) 即,弹性力的功,等于弹簧的初变形的平方差与刚度系数的乘积之半,而与质点运动的路径无关。 3.定轴转动刚体上力的功 定轴转动刚体上的点M受力F作用,如图13-5所示。当刚体转过微小转角dq时,点M的 微小路程为dS=rdq,此时,力F的元功由式(13-2)得 dw=fds=f rdo 应注意到,Fr表示力F对转轴之矩,即M=M(F)=Fr。因而作用 在定轴转动刚体上的力的元功写成 dw=M do (13-10) 即作用在转动刚体上的力的元功,等于该力对转轴之矩与刚体微小转角之积。图13-5 刚体由位置角q转到Q2的过程中,力F的功为 (13-11) 若M=常量,则有 H12=M(a2-9)=M:o 13-12) 如果在转动刚体上作用有力偶,式(13-11)与式(13-12)仍然成立。但该式中的M.,应 是该力偶矩矢在转轴z上的投影,特别是当力偶的作用面垂直于转轴时,M.就等于该力偶矩M。 质量为m的质点受力F=3J+x作用,沿曲线r= acosta+asin运动。试求 =0运动到t=2m时力F在此曲线上所作的功。 解由于已知力F的解析式和曲线方程,可应用功的解析式(13-5)计算。 因为x= acost,y= asin3 弹性力的元功，由（13-1）得 ( ) 0 d d d W kr l r ′ ⋅ = ⋅ =− − r r F r 考虑到 ( ) 1 1 2 dd d d 2 2 r r rr ⋅= ⋅= = r rr 所以有 ( ) 0 d d ′W kr l r =− − ，当质点从 M1 运动到 M2 时， 弹性力的功为 ( ) ( )( ) 2 2 1 1 2 2 12 0 1 0 2 0 d d 2 M r M r k W W kr l r r l r l = =− − = − −− ′ ⎡ ⎤ ∫ ∫ ⎣ ⎦ 以 1 1 0 2 2 0 δ = r − l , δ = r − l 分别表示弹簧在初始和末了位置时的变形量，弹性力的功可简写为 ( ) 2 2 2 12 1 2 = δ − δ k W （13-9） 即，弹性力的功，等于弹簧的初变形的平方差与刚度系数的乘积之半，而与质点运动的路径无关。 3．定轴转动刚体上力的功 定轴转动刚体上的点 M 受力 F 作用，如图 13-5 所示。当刚体转过微小转角dϕ 时，点 M 的 微小路程为d d S r = ϕ ，此时，力 F 的元功由式（13-2）得 ddd W F S Fr ′ = = τ τ ϕ 应注意到， F r τ 表示力 F 对转轴 z 之矩，即 Mz z = = M Fr (F ) τ 。因而作用 在定轴转动刚体上的力的元功写成 d d ′W M= z ϕ （13-10） 即作用在转动刚体上的力的元功，等于该力对转轴之矩与刚体微小转角之积。 刚体由位置角ϕ1转到ϕ 2 的过程中，力 F 的功为 2 1 12 d W Mz ϕ ϕ = ϕ ∫ （13-11） 若 M z =常量，则有 W12 = M z (ϕ 2 −ϕ1 )= M zϕ （13-12） 如果在转动刚体上作用有力偶，式（13-11）与式（13-12）仍然成立。但该式中的 M z ，应 是该力偶矩矢在转轴 z 上的投影，特别是当力偶的作用面垂直于转轴时，M z 就等于该力偶矩 M。 例 13-1 一质量为 m 的质点受力 F = 3y x i j + 作用，沿曲线 r ij = a tat cos sin + 运动。试求 t = 0运动到t = 2π 时力 F 在此曲线上所作的功。 解 由于已知力 F 的解析式和曲线方程，可应用功的解析式（13-5）计算。 因为 x = = a t, y a t cos sin r2 r1 F r O M M2 M1 图 13-4 z M φ F dφ 图 13-5