所以dx=- asin d,dy= acost dt Fr=3y=3asint, F=x=acost 于是,可得力的功 Wa=JM, (E dr+ E dy)=(-sa'sin'i+ a cos t d/ =-2ai' 例13-2弹簧的刚度系数k=40N/cm,自然长度l=40cm,此时弹簧两端分别固定在水平 线上的点A和点B,如图13-6(a)所示,现给弹簧中点附一重为98N的小球C,当C下降5cm 时,试求作用在小球C上的所有力的功。 解以小球为研究对象,作用于其上的 力有重力弹性力。重力的功,由式(13-8)得 W=Ph=98×5=49N·cm 弹性力的功,因不考虑弹簧的质量,弹性力 (a) (b) 处处相等。它的功与整个弹簧的初末变形有 图13-6 关,应按式(13-9)计算。弹簧的初始与末了位置时的变形量分别为 61=0,d2=AC+BC-AB=2v202+52-40=123cm 于是,弹性力的功为 x2-62)=40x0-123)=-303Ncm 所以,作用于小球C上所有力的功 W=形1+W2=49-303=18.7N·cm=0.187J 4.功率( Pore)与机械效率 (1)功率在实际工程中,常用功率表示力作功的快慢程度,力在单位时间内所作的功,称 为功率,以P表示,则有 d n (13-13) 由元功的定义式(13-1),可以得作用力表示的功率为 P dw (13-14) dt 即力的功率,等于力与其作用点速度矢的标积。 由于力矩M(或力偶矩)在d时间内所作元功为Mdq,所以用力矩(或力偶矩)表示的 功率为 P=M dt M (13-15) 即力矩的功率,等于力矩与刚体转动角速度的乘积4 所以 d sin d d cos d x =− = a t t, y a t t 3 3 sin cos F y a t, F x a t x y = = == 于是，可得力的功 ( ) ( ) 2 1 2 22 2 2 2 12 0 d d 3 sin cos d 2 M x y M W Fx Fy a t a t t a π = + = − + =− π ∫ ∫ 例 13-2 弹簧的刚度系数 k = 40N/cm ，自然长度l0 = 40 cm，此时弹簧两端分别固定在水平 线上的点 A 和点 B，如图 13-6（a）所示，现给弹簧中点附一重为 9.8N 的小球 C，当 C 下降 5cm 时，试求作用在小球 C 上的所有力的功。 解 以小球为研究对象，作用于其上的 力有重力弹性力。重力的功，由式（13-8）得 1 W Ph . = = ×= ⋅ 9 8 5 49N cm 弹性力的功，因不考虑弹簧的质量，弹性力 处处相等。它的功与整个弹簧的初末变形有 关，应按式（13-9）计算。弹簧的初始与末了位置时的变形量分别为 0, 2 20 5 40 1.23cm 2 2 δ 1 = δ 2 = AC + BC − AB = + − = 于是，弹性力的功为 ( ) ( ) 0 1.23 30.3N cm 2 40 2 2 2 2 2 2 1 = δ − δ = × − = − ⋅ k W 所以，作用于小球 C 上所有力的功 49 30.3 18.7N cm 0.187J W =W1 + W2 = − = ⋅ = 4．功率（Porer）与机械效率 （1）功率 在实际工程中，常用功率表示力作功的快慢程度，力在单位时间内所作的功，称 为功率，以 P 表示，则有 d d W P t ′ = （13-13） 由元功的定义式（13-1），可以得作用力表示的功率为 d d d d W P t t r F F v ′ = =⋅ =⋅ （13-14） 即力的功率，等于力与其作用点速度矢的标积。 由于力矩 Mz（或力偶矩）在dt 时间内所作元功为 d Mz ϕ ，所以用力矩（或力偶矩）表示的 功率为 d d PM M z z t ϕ = = ω （13-15） 即力矩的功率，等于力矩与刚体转动角速度的乘积。 20cm （a） 20cm k C A B F C F P （b） 图 13-6