(10分)设0和τ都是3维线性空间V的线性变换,设(I):{B1,B2,B3} 是V的一个基,0和τ在(I)下的矩阵分别是 A=1-22,B=020 41-1 求复合变换τσ在(I)下的矩阵,并求τo(2βr-B2+5B3)在(I)下的坐标 解:复合变换τo在(I)下的矩阵为 200 002 44 4 1)(82-2 T0(2B1-B2+5B3)在(I)下的坐标为 41-15 四、(8分)设Ⅴ是一个实数域上的3维线性空间,τ是V上的线性变换.证明: τ一定有实特征值. 证:设{β1,β2,β3}是Ⅴ的一个基,则τ在该基下的矩阵是3阶方阵,τ的特 征多项|AE-A|是3次多项式,因为多项式的非实数根是成对出现的(共轭复根), 而3次多项式恰好有3个根,所以必有一个是实根,即τ一定有实特征值 五、(10分)设r是正整数,σ是线性空间上的线性变换,证明:如果ker(o- λoidy)≠{0},则λo是o的一个特征值. 证:设a∈ker(0-Aoid),且a≠0 则(0-xoid(a)=0,(0-loid)(a)=a≠0 设设s是使(0-oid)5(a)≠0的最小的自然数,记B=(0-koid)(a) 则(0-oid)(B)=(0-oid)+(a)=0 即(B)=A0B所以λo是σ的一个特征值 六、(12分)求矩阵A的若尔当标准形 A=3-16 第2页共5页第 2 页 共 5 页 三、（10 分）设σ和τ都是 3 维线性空间 V 的线性变换，设(Ⅰ)：{β1，β2，β3} 是 V 的一个基，σ和τ在(Ⅰ)下的矩阵分别是           4 1 1 1 2 2 0 3 1 A ，        0 0 2 0 2 0 2 0 0 B 求复合变换τσ在(Ⅰ)下的矩阵，并求τσ(2β1-β2+5β3)在(Ⅰ)下的坐标． 解：复合变换τσ在(Ⅰ)下的矩阵为                          8 2 2 2 4 4 0 6 2 4 1 1 1 2 2 0 3 1 0 0 2 0 2 0 2 0 0 τσ(2β1-β2+5β3)在(Ⅰ)下的坐标为                       4 28 16 5 1 2 4 1 1 1 2 2 0 3 1 2 四、（8 分）设 V 是一个实数域上的 3 维线性空间，τ是 V 上的线性变换．证明： τ一定有实特征值． 证：设{β1，β2，β3}是 V 的一个基，则τ在该基下的矩阵是 3 阶方阵，τ的特 征多项 |λE-A| 是 3 次多项式，因为多项式的非实数根是成对出现的（共轭复根）， 而 3 次多项式恰好有 3 个根，所以必有一个是实根，即τ一定有实特征值． 五、（10 分）设 r 是正整数，σ是线性空间 V 上的线性变换，证明：如果 ker((σ- λ0id) r )≠{0}，则λ0是σ的一个特征值． 证：设α∈ker((σ-λ0id) r )，且α≠0， 则 (σ-λ0id) r (α) =0，(σ-λ0id) 0 (α) =α≠0 设 设 s 是使(σ-λ0id) s (α) ≠0 的最小的自然数，记β=(σ-λ0id) s (α) 则 (σ-λ0id) (β) =(σ-λ0id) s+1 (α) =0 即 σ(β) =λ0β 所以λ0是σ的一个特征值． 六、（12 分）求矩阵 A 的若尔当标准形．          2 0 5 3 1 6 3 0 8 A