把第二式的两边乘以k,再与第一式相加，即为 (an+kaz)c+(av2 +kaz)c+.+(a+)c =b+kb 故(G,C2,·,C)又满足（门的第一个方程，因而是（门的解类似地可证(）的任一解也是(1)的解这就 证明了(1)与（是同解的 下面我们来说明，如何利用初等变换来解一般的线性方程组 对于方程组(1)，首先检查，的系数如果x的系数a1,a,.a,全为零，那么方程组(1)对x没有任何限 制。x就可以取任意值，而方程组(1)可以看作x,x的方程组来解如果的系数：不全为零，那么利 用初等变换3，可以设41≠0.利用初等变换2，分别地把第一个方程的-血倍加到第1个方程 a11 (位=2，.，s).于是方程组(1)就变成 a+a22+.+axn=b, a2'x2+.+anxn=b 3 a++=b 其中 a-4-8a2/-2n 这样，解方程组(1)的问题就归结为解方程组 aa++a=6, aa'x2+.+am'xn=b 的问题.显然，(4)的一个解，代入(3)的第一个方程就定出x的值，这就得出(3)的一个解：而(3)的解显然都 是(4)的解这就是说，方程组(3)有解的充分必要条件为方程组(4)有解，而(3)与()是同解的，因之，方程组 (1)有解的充分必要条件为方程组(4)有解. 对(4)再按上面的考虑进行变换，并且这样一步步作下去，最后就得到一个阶梯形方程组为了讨论 起来方便，不妨设所得的方程组为 把第二式的两边乘以 k ,再与第一式相加,即为 11 21 1 12 22 2 1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) . n n n a ka c a ka c a ka c b kb + + + + + + = + 故 1 2 ( , , , ) n c c c 又满足 (1 ) 的第一个方程,因而是 (1 ) 的解.类似地可证 (1 ) 的任一解也是(1)的解.这就 证明了(1)与 (1 ) 是同解的. 下面我们来说明,如何利用初等变换来解一般的线性方程组. 对于方程组(1),首先检查 1 x 的系数.如果 1 x 的系数 11 21 1 , , s a a a 全为零,那么方程组(1)对 1 x 没有任何限 制, 1 x 就可以取任意值,而方程组(1)可以看作 2 , , n x x 的方程组来解.如果的系数 1 x 不全为零,那么利 用初等变换 3,可以设 11 a  0 .利用初等变换 2, 分别地把第一个方程的 1 11 i a a − 倍加到第 i 个方程 ( 2, , ) i s = .于是方程组(1)就变成 11 1 12 2 1 1 22 2 2 2 2 2 , , n n n n s sn n s a x a x a x b a x a x b a x a x b  + + + =      + + =      + + =   (3) 其中 1 1 11 , 2, , , 2, , . i ij ij j a a a a i s j n a = −  = = 这样,解方程组(1)的问题就归结为解方程组 22 2 2 2 2 2 , n n s sn n s a x a x b a x a x b     + + =       + + =   (4) 的问题.显然,(4)的一个解,代入(3)的第一个方程就定出 1 x 的值,这就得出(3)的一个解;而(3)的解显然都 是(4)的解.这就是说,方程组(3)有解的充分必要条件为方程组(4)有解,而(3)与(1)是同解的,因之,方程组 (1)有解的充分必要条件为方程组(4)有解. 对(4)再按上面的考虑进行变换,并且这样一步步作下去,最后就得到一个阶梯形方程组.为了讨论 起来方便,不妨设所得的方程组为