[2x-x2+3x=1, 4x+2x2+5x=4, 2x +2x3=6, 第二个方程减去第一方程的2倍，第三个方程减去第一个方程，就变成 [2x,-x2+3x=1, 4x-x3=2 x-为=5， 第二个方程诚去第三个方程的4倍，把第二第三两个方程的次序互换，即得 [2x-x2+3x3=1, x-x=5, 3x=-18 这样，我们就容易求出方程组的解为(9，-1，-6)。 分析一下消元法，不难看出，它实际上是反复地对方程组进行变换，而所作的变换也只是由以下三 种基本的变换所构成 1.用一非零的数乘某一方程 2.把一个方程的倍数加到另一个方程： 3.互换两个方程的位置. 定义1变樟123称为线性方程组的初统变梅 消元的过程就是反复施行初等变换的过程下面证明，初等变换总是把方程组变成同 解的方程组我们只对第二种初等变换来证明 对方程组 a+a2x32+.+anxn=b, a+++a=b (0 a,+a,3+.+axn=b, 进行第二种初等变换为简便起见，不妨设把第二个方程的k倍加到第一个方程得到新方程组 [(an+kaz)+(az+kazz )2+.+(aim+kazn)x=b+kbz, 4x+a53+.+anxn=h, () a+a,23+.+ann=b 现在设(G,G,.,c)是(1)的任一解因(1)与（们的后5-1个方程是一样的.所以(G,C,.,C)满 足（的后s-1个方程又(G,2,.,c)满足1）的前两个方程 auc+ac+.+ac=b a19+a2C2+.+a2nCn=b,1 2 3 1 2 3 1 3 2 3 1, 4 2 5 4, 2 2 6, x x x x x x x x  − + =   + + =   + = 第二个方程减去第一方程的 2 倍,第三个方程减去第一个方程,就变成 1 2 3 2 3 2 3 2 3 1, 4 2, 5, x x x x x x x  − + =   − =   − = 第二个方程减去第三个方程的 4 倍,把第二第三两个方程的次序互换,即得 1 2 3 2 3 3 2 3 1, 5, 3 18, x x x x x x  − + =   − =   = − 这样,我们就容易求出方程组的解为 (9, 1, 6) − − . 分析一下消元法,不难看出,它实际上是反复地对方程组进行变换,而所作的变换也只是由以下三 种基本的变换所构成: 1. 用一非零的数乘某一方程; 2. 把一个方程的倍数加到另一个方程; 3. 互换两个方程的位置. 定义 1 变换 1,2,3,称为线性方程组的初等变换. 消元的过程就是反复施行初等变换的过程.下面证明,初等变换总是把方程组变成同 解的方程组.我们只对第二种初等变换来证明. 对方程组 11 1 12 2 1 1 21 1 22 2 2 2 1 1 2 2 , , n n n n s s sn n s a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b  + + + =   + + + =     + + + = (1) 进行第二种初等变换.为简便起见,不妨设把第二个方程的 k 倍加到第一个方程得到新方程组 11 21 1 12 22 2 1 2 1 2 21 1 22 2 2 2 1 1 2 2 ( ) ( ) ( ) , , n n n n n s s sn n s a ka x a ka x a ka x b kb a x a x a x b a x a x a x b  + + + + + + = +   + + + =     + + + = (1 ) 现在设 1 2 ( , , , ) n c c c 是(1)的任一解.因(1)与 (1 ) 的后 s −1 个方程是一样的.所以 1 2 ( , , , ) n c c c 满 足 (1 ) 的后 s −1 个方程.又 1 2 ( , , , ) n c c c 满足(1)的前两个方程 11 1 12 2 1 1 21 1 22 2 2 2 , , n n n n a c a c a c b a c a c a c b + + + = + + + =