数分课外习题 1.设x0>a>0,xn1 n>0,证明数列{xn}收敛并求其极限 2.求 lim cos= COS-7Co5 …cos-.并由此证明Veta公式 2 V2V22V2V2+2V22V2 3.用E-N语言证明,若实数列{x}满足m(xn-xn2)=0,则mnx-xm=0 n→∞n 4.证明:li (+)E样(-小o 5.设∫(x)=lmn1+ ,写出∫(x)的表达式及定义域 6.设a>1,b>1,函数∫R→R在x=0附近有界,且对任意实数x,f(ax)=bf(x), 证明:f(x)在零点连续 7.设∫(x),g(x)为周期函数,且im(f(x)-g(x)=0,证明:f≡g 8.设a(1),b(1)为[0,1上连续函数,0≤a(1)≤λ<1 求证:方程x=mX(O)+xa()的解为x=mxbU sisI1-a(t) 9.设函数∫(x)在[0,+∞)连续,有界,求证:VA>0,存在数列xn→+∞0,使 lim(f(,+1)-f(x,))=0 请问是否存在R上的连续函数,使它的任一函数值都被恰好取到两次或都被恰好 取到三次? 求证:在R上不存在可导函数f(x)满足∫2(x)=x2-3x+3 +√x)2,neN,求yo(0) 13. Riemann函数RR→R的定义是:1 数 分 课 外 习 题 1． 设 x0  a  0， 2 , 0 3 1 1 2          + = + n x a x x n n n ，证明数列 xn  收敛并求其极限 . 2． 求 . 2 cos 2 cos 2 cos 2 lim cos 2 3 n n x x x x  → 并由此证明 Vieta 公式：  2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 =  +  + +  3． 用  − N 语言证明，若实数列 { }n x 满足 lim ( − −2 ) = 0 → n n n x x ，则 lim 0. 1 = − − → n x x n n n 4． 证明： . 6 1 3 lim 1 1 lim 1 2 1 3  2 = → = → = =         + − n i n n i n n i n i 并求 lim 1 , ( 0). 1 2           − = → a a n i n i n 5． 设                − +      = + + → n n x n n n f x n 1 1 1 ( ) lim 1 1 ，写出 f (x) 的表达式及定义域 . 6． 设 a  1, b  1 ，函数 f : R → R 在 x = 0 附近有界，且对任意实数 x ， f (ax) = bf (x)， 证明： f (x) 在零点连续 . 7． 设 f (x), g(x) 为周期函数，且 lim ( ( ) − ( )) = 0 →+ f x g x x ，证明： f  g . 8． 设 a(t), b(t) 为 [0,1] 上连续函数， 0  a(t)    1， 求证：方程 max( ( ) ( )) 0 1 x b t xa t t = +   的解为 1 ( ) ( ) max 0 1 a t b t x t − =   . 9． 设函数 f (x) 在 [0, +) 连续，有界，求证：   0 ，存在数列 xn → + ，使 lim ( ( + ) − ( )) = 0. → n n n f x  f x 10． 请问是否存在 R 上的连续函数，使它的任一函数值都被恰好取到两次或都被恰好 取到三次？ 11． 求证：在 R 上不存在可导函数 f (x) 满足 ( ) 3 3. 2 2 f x = x − x + 12． 设 = ( + )   + y x n n 1 , 2 2 ，求 (1). (n) y 13． Riemann 函数 R: R → R 的定义是：