R(x) q>0且p,q为互素整数 xEo 求极限mR(x),其中x0∈R 14.证明 Riemann函数R(x)处处不可导 5.构造可导函数∫(x),使∫(x)在有理数点的函数值为有理数,而导数值为无理数 证明:当x∈(-∞,1)时, arctan =arctan x+ 17.求和:∑kskx,∑ k cos kx m<n-1 设m,n∈N,证明: (1)"CKk (-1)n! 19.已知:函数∫(x)在区间[0,1]上连续,在(0,1)可导,且f(0)=f(1)=0 f()=1,求证:VA∈R,∈(0,1),使∫(5)-4[f()-5]=1 对于R上函数f(x),记f(+∞)=lmf(x),f(-∞)=lmf(x).设f(x),g(x) x→一0 在R上可导,x∈R,g'(x)≠0,且f(+∞),f(-∞),g(+∞),g(-∞)存在, 证明:35∈(-+∞),s!f(+∞)-f(-∞)_f( 8(+∞)-g(-∞)g'(2) f(x) g(x) 设f(x),g(x)可导,且对一切x都有 ≠0,那么在f(x)的任何两 f(x)g(x) 个零点之间,至少有g(x)的一个零点 设∫R→R有二阶连续导数,且x∈R,|f(x)k1,此外f2(0)+f2(0)=4 证明:彐x∈R,使∫(x0)+f(x0)=0 设f:[a,b]→R在[a,b可导且∫(a)=∫(b) 证明:∈(a,b),sr()=1(5-f(a)2          = = 0 , . , 0 1 1 , 0; ( ) x Q q q x R x 且 p, q 为互素整数； 求极限 lim ( ) 0 R x x→x ，其中 x0  R . 14． 证明 Riemann 函数 R(x) 处处不可导 . 15． 构造可导函数 f (x) ，使 f (x) 在有理数点的函数值为有理数，而导数值为无理数 . 16． 证明：当 x (−,1) 时， . 4 arctan 1 1 arctan  = + − + x x x 17． 求和： = n k k kx 1 sin ， = n k k kx 1 cos . 18． 设 m, n  ，证明： =    − =  − − = n k n k m n k n m n m n C k 0 ( 1) ! , . 0 , 1 ; ( 1) 19． 已知：函数 f (x) 在区间 [0,1] 上连续，在 (0,1) 可导，且 f (0) = f (1) = 0 ， ) 1 2 1 f ( = ，求证：   R， (0,1) ，使 f '( ) − [ f ( ) − ] = 1 . 20． 对于R上函数 f (x) ，记 f ( ) lim f (x) x→+ + = ，f ( ) lim f (x). x→− − = 设 f (x), g(x) 在 R 上可导， x  R， g'(x)  0 ，且 f (+) ， f (−) ， g(+) ， g(−) 存在， 证明： . '( ) '( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( , ), . .    g f g g f f st = + − − + − −   − + 21． 设 f (x), g(x) 可导，且对一切 x 都有 0 '( ) '( ) ( ) ( )  f x g x f x g x ，那么在 f (x) 的任何两 个零点之间，至少有 g(x) 的一个零点 . 22． 设 f : R → R 有二阶连续导数，且 x  R，| f '(x) | 1 ，此外 (0) ' (0) 4. 2 2 f + f = 证明： x0  R，使 ( ) ''( ) 0. f x0 + f x0 = 23． 设 f :[a, b] → R 在 [a, b] 可导且 f '(a) = f '(b). 证明： . ( ) ( ) ( , ), . . '( ) a f f a a b st f − −   =    