第一讲大数定理 I.授课题目（章节） S5.1大数定理 Ⅱ.教学目的与要求 Ⅲ.教学重点与难点： 热等营大大车软大定理 难点：(1)了解契比雪夫大数定理，伯努利大数定理（独立同分布随机变量的大数定 律)成立的条件及结论 (2)了解独立同分布的中心极限定理和德莫佛一拉普拉斯定理（仁项分布以正态分布 为极限分布)的应用条件和结论，并会用相关定理近似计算有关随机事件的概率。 V.讲授内容： 在前面学习概率的定义时，就知道了一个事实：概率是事件发生的频率所呈现的稳定 但仅从现实生活里的一些可观察的随机事件的表面作了说明，并未从根本上加以理论证明， 除此之外，我们还认识到大量测量值的算术平均值也具有稳定性。所以我们有必要研究在这 种以“大量观测值”为背景下的随机事件的概率的规律。这就是本章内容的背景和所要探讨 学习的。 为了根本更好地理解和学习大数定理，结合契比雪夫不等式，先从概率论中最重要也最 基本的契比雪夫定理开始： 定理一（契比雪夫定理的特殊情况） 设随机变量X,X2,X。,相互立，且具有相同的期望和方差： BX,)=么DX,)=0X=121作前n个随机变星的算术平均：下-之.· 则时于任意的e,有mp低-小水小-mP空-水1 (1.1) 该式表明：当n→o时这个事件的概奉趋于1，即对于任意的正数8，当n充分大时不等式 空-小水我限大 证明由于 2]-2(x)m-牙 n 由契比雪夫不等式知 P们之-水之一吾在上式中令加→并注意到概率不能大于1，即得：第一讲大数定理 Ⅰ.授课题目（章节） §5.1 大数定理 Ⅱ.教学目的与要求 Ⅲ.教学重点与难点： 重点：契比雪夫不等式，契比雪夫大数定理；伯努利大数定理，辛钦大数定理；独立 同分布的中心极限定理，德莫佛—拉普拉斯定理。 难点：（1）了解契比雪夫大数定理，伯努利大数定理（独立同分布随机变量的大数定 律）成立的条件及结论 （2）了解独立同分布的中心极限定理和德莫佛—拉普拉斯定理(二项分布以正态分布 为极限分布)的应用条件和结论，并会用相关定理近似计算有关随机事件的概率。 Ⅳ.讲授内容： 在前面学习概率的定义时，就知道了一个事实：概率是事件发生的频率所呈现的稳定 ， 但仅从现实生活里的一些可观察的随机事件的表面作了说明，并未从根本上加以理论证明。 除此之外，我们还认识到大量测量值的算术平均值也具有稳定性。所以我们有必要研究在这 种以“大量观测值”为背景下的随机事件的概率的规律。这就是本章内容的背景和所要探讨 学习的。 为了根本更好地理解和学习大数定理，结合契比雪夫不等式，先从概率论中最重要也最 基本的契比雪夫定理开始： 定理一（契比雪夫定理的特殊情况） 设随机变量 1 2 , ,., ,. X X X n 相互立， 且具有相同的期望和方差： 2 ( ) , ( ) )( 1, 2,.). E X u D X k k k = = =  作前 n 个随机变量的算术平均： , 1 1 n k k X X n = =  ， 则对于任意的  ，有   1 1 lim lim 1 n k n n k p X u p X u n   → → =   −  = −  =      （ 1.1 ） 该式表明：当 n → 时这个事件的概率趋于 1，即对于任意的正数  ，当 n 充分大时不等式 1 1 n K k X u n  =  −  成立的概率很大。 证明 由于 ( ) 1 1 1 1 1 , n n k k k k E X E X nu u n n n = =   = = • =       ( ) 2 2 2 2 1 1 1 1 1 , n n k K k k D X D X n n n n n   = =   = = • =       由契比雪夫不等式知： 2 2 1 1 1 . , n k k n P X u n n   =      −   − →     在上式中令 并注意到概率不能大于1，即得：