=4×2×1=8 依题意知m×n与p同向 =(m×n,p)=0 (m×n)·p=m×|| pcos=8·3=24 三、向量的混合积 定义设已知三个向量a、b、C,数量(a×b)·C 称为这三个向量的混合积,记为[b i a=a, i+a,j+ak, b=bi+b,j+bk, C=CI+C.+ bd]=(a×b)=b,b (混合积的坐标表达式) 关于混合积的说明 (1)向量混合积的几何意义: 向量的混合积[ab]=(a×b)c是这样的一个数,它的绝对值表示以向量a b、C为棱的平行六面体的体积 a×b (2)[ib]=(axb)=(b×)a=(xa)b (3)三向量a、b、c共面<→[ab(]=0 例6已知[abC]=2,计算[(a+b)x(b+c(+a) 解[(Ga+b)×(b+c)(c+a =[a×b+axc+b×b+b×c)(c+a)7 = 4 21 = 8, 依题意知 m n    与 p  同向，  = (mn, p) = 0     m n p    (  ) | m n | | p | cos    =   = 83 = 24. 三、向量的混合积 定义 设已知三个向量 a  、b  、c  ，数量 a b c    (  ) 称为这三个向量的混合积，记为 [abc]    . 设 a a i a j a k, x y z     = + + b b i b j b k , x y z     = + + c c i c j c k , x y z     = + + [abc]    a b c    = (  ) x y z x y z x y z c c c b b b a a a = (混合积的坐标表达式) 关于混合积的说明： （1）向量混合积的几何意义： 向量的混合积 [abc]    a b c    = (  ) 是这样的一个数，它的绝对值表示以向量 a  、 b  、 c  为棱的平行六面体的体积. (2) [abc]    a b c    = (  ) b c a    = (  ) (c a) b.    =   （3）三向量 a  、b  、c  共面 [abc] = 0.    例 6 已知 [abc] = 2    ，计算 [(a b) (b c)] (c a)       +  +  + . 解 [(a b) (b c)] (c a)       +  +  + [a b a c b b b c)] (c a)           =  +  +  +   + a  c  b  a b    