lm4=∩U4,mA=U∩41 nel ken 证明我们有 lim a={x:x属于无穷多个An,n≥1} {x:对任意n≥1存在k≥n,使得x∈A} 任意n21xeU4}=∩U4 类似地可证明第二式 设{An}是一列集.若对每个n≥1,均有AncA(相应地A1CAn) 则称{A4}是单调增加的,记为A↑(相应地,单调减少的,记为An↓).单调 增加和单调减少的集列统称为单调集列 定理3单调集列必存在极限.并且 ()若A↑,则imA,=UA i)若Ay,则imA=∩4 证明().因为A个,故对任意n21,有∩4=A,∪4=U4.因 此由定理2得到 imAn=U∩4=UA lm4=∩U4=U4-U4 所以im4,=limA=∪A,这表明imA存在,并且imA,=∪A,类似可 证明结论(i) 例2设A,=(0,1-Bn=(0.1+]则A↑,Bn,并且6 IU UI ∞ = ∞ = →∞ ∞ = ∞ = →∞ = = 1 1 lim , lim . n n k n k n n n k n k n A A A A 证明 我们有 { : 1, } . { : 1, , } lim { : , 1} 1 U IU ∞ = ∞ = ∞ = →∞ = ≥ ∈ = = ≥ ≥ ∈ = ≥ n n k k k n k k n n n x n x A A x n k n x A A x x A n 对任意 对任意 存在 使得 属于无穷多个 类似地可证明第二式. ■ 设{ } An 是一列集. 若对每个 n ≥ 1, 均有 An ⊂ An+1 (相应地 An+1 ⊂ An ), 则称{ } An 是单调增加的, 记为 An↑ (相应地, 单调减少的, 记为 An ↓). 单调 增加和单调减少的集列统称为单调集列. 定理 3 单调集列必存在极限. 并且 (ii). , lim . (i). , lim . 1 1 I U ∞ = →∞ ∞ = →∞ ↓ = ↑ = n n n n n n n n n n A A A A A A 若 则 若 则 证明 ). ( i 因为 An↑ , 故对任意n ≥ 1, 有 , n k n Ak = A ∞ = I . 1 U U ∞ = ∞ = = k k k n Ak A 因 此由定理 2 得到 lim . 1 1 UI U ∞ = ∞ = ∞ = →∞ = = n n n n k n k n A A A lim . 1 1 1 1 IU IU U ∞ = ∞ = ∞ = ∞ = ∞ = →∞ = = = k k n k k n n k n k n A A A A 所以 lim lim . 1 U ∞ = →∞ →∞ = = n n n n n n A A A 这表明 n n A →∞ lim 存在, 并且 lim . 1 U ∞ = →∞ = n n n n A A 类似可 证明结论( ii). ■ 例 2 设 ]. 1 ], (0,1 1 (0, 1 n B n An = − n = + 则 ↑ , ↓ , An Bn 并且