x∈A分vk213m21使得vn2m,x∈{x:J(x)< Vk≥1,彐m≥1,使得x∈ f,(x) 分k21x∈U∩x(x)<k x∈nU∩x:(x<k 因此(1)成立 在例1中,集A的表达式(1)看起来较复杂,但它是通过比较简单的集 {x:|fn(x)<}的运算得到的,以后会看到集的这种表示方法是很有用的 乘积集设A1,…A1为n个集.称集 {(x1,…,xn):x1∈A1,i=1,…,n} 为A1…,An的乘积集简称为乘积,记为A1x…×A或者∏A1,注意即使 A1…,4,都是x的子集,A1x…xA已经不是x的子集,它是x…×x 的子集 例如,二维欧氏空间R2可以看作是R与R的乘积,即R2=R×R 又例如,E=[a,b]×[c,d]就是平面上的长方形 集列的极限设{An}是一列集.称集 {x:x属于无穷多个An,n≥1} 为集列{A4}的上极限,记为 lim a称集 x:x至多不属于有限个An,n≥l} 为集列{An}的下极限,记为limA,显然limA1 clim a若limA1=limA 则称集列{An}存在极限,并称A= lim a=limA,为集列{An}的极限,记为 lim d 定理2设{An}是一列集.则5 I ∞ = ⇔ ∀ ≥ ∃ ≥ ∈ < ∈ ⇔ ∀ ≥ ∃ ≥ ∀ ≥ ∈ < n m n n k k m x x f x k x A k m n m x x f x } 1 1, 1, { : ( ) } 1 1, 1, , { : ( ) 使得 使得 }. 1 { : ( ) } 1 1, { : ( ) 1 1 1 IUI UI ∞ = ∞ = ∞ = ∞ = ∞ = ⇔ ∈ < ⇔ ∀ ≥ ∈ < km m n n m m n n k x x f x k k x x f x 因此(1)成立. ■ 在例 1 中, 集 A的表达式(1)看起来较复杂, 但它是通过比较简单的集 } 1 { : ( ) k x f x n < 的运算得到的, 以后会看到集的这种表示方法是很有用的. 乘积集 设 A An , , 1 L 为n 个集. 称集 {( , , ) : , 1, , } x1 L xn xi ∈ Ai i = L n 为 A An , , 1 L 的乘积集(简称为乘积), 记为 A1 ×L× An 或者 . 1 ∏= n i Ai 注意即使 A An , , 1 L 都是 X 的子集, A1 ×L× An 已经不是 X 的子集, 它是 X ×L× X 的子集. 例如, 二维欧氏空间 2 R 可以看作是 1 R 与 1 R 的乘积, 即 . 2 1 1 R = R × R 又例如, E = [a,b]×[c,d]就是平面上的长方形. 集列的极限 设{ } An 是一列集. 称集 {x : x A , n ≥ 1} 属于无穷多个 n 为集列{ } An 的上极限, 记为lim . n n A →∞ 称集 {x : x A , n ≥ 1} 至多不属于有限个 n 为集列{ } An 的下极限,记为 lim . n n A →∞ 显然 ⊂ →∞ n n lim A lim . n n A →∞ 若 = →∞ n n lim A lim , n n A →∞ 则称集列{ } An 存在极限, 并称 A = = →∞ n n lim A n n A →∞ lim 为集列{ } An 的极限, 记为 lim . n n A →∞ 定理 2 设{ } An 是一列集. 则