通常我们所讨论的集都是某一固定集X的子集,X称为全空间我们 称全空间X与子集A的差集X-A为A的余集(图1-4),记为AC.设A和 B是两个集.称集(A-B)∪(B-A)为A与B的对称差集,记为A△B 容易知道关于差运算和余运算成立以下性质 (6)A∪AC=X,A∩AC (7)Y=8, C=X 8)A-B=A∩BC 关于余运算还成立下面重要的运算法则 定理1( De morgan公式)设(4)=x是一族集.则 ()(UA1)=∩4.(并的余集等于余集的交 i)(∩4)=UA.(交的余集等于余集的并) 证明()设x∈(∪4),则xg EUA 故对任意t∈T,xgA,即对 任意t∈T,x∈A.因此x∈∩4.这表明(∪4)c∩4.上述推理可以 反过来,即从x∈∩4可以推出x∈(∪4).这表明∩4c(UA).因 此(i)成立.类似地可以证明(i) 定理1的证明过程是证明两个集相等的典型方法 例1设{}是定义在集X上的一列实值函数.令 x: lim f,(x)=0}.则成立 A=∩U∩x:(x) kel mel nen 证明由于lmfn(x)=0当且仅当对任意k≥1,存在m≥1,使得对任 意n≥m成立(x)<因此我们有4 通常我们所讨论的集都是某一固定集 X 的子集, X 称为全空间. 我们 称全空间 X 与子集 A的差集 X − A为 A 的余集(图 1—4), 记为 C A . 设 A 和 B 是两个集. 称集(A − B) ∪ (B − A)为 A与 B 的对称差集, 记为 A∆B. 容易知道关于差运算和余运算成立以下性质: (8) . (7) , . (6) , . C C C C C A B A B X X A A X A A − = ∩ = ∅ ∅ = ∪ = ∩ = ∅ 关于余运算还成立下面重要的运算法则. 定理 1 (De Morgan 公式)设 At t∈T ( ) 是一族集. 则 (i). (U ) I . (并的余集等于余集的交), t T C t C t T At A ∈ ∈ = 证明 ). (i 设 ( ) , C t T At x U ∈ ∈ 则 U . t T At x ∈ ∉ 故对任意 t ∈T, . At x ∉ 即对 任意t ∈T, . c At x ∈ 因此 I . t T c At x ∈ ∈ 这表明 (U ) I . t T c t C t T At A ∈ ∈ ⊂ 上述推理可以 反过来, 即从 I t T c At x ∈ ∈ 可以推出 ( ) . C t T At x U ∈ ∈ 这表明 ( ) . C t T t t T c IAt UA ∈ ∈ ⊂ 因 此(i)成立. 类似地可以证明(ii). ■ 定理 1 的证明过程是证明两个集相等的典型方法. 例 1 设 { }n f 是定义在集 X 上的一列实值函数 . 令 = { : lim ( ) = 0.}. →∞ A x f x n n 则成立 }. 1 { : ( ) 1 1 IUI ∞ = ∞ = ∞ = = < km m n n k A x f x (1) 证明 由于 lim ( ) = 0 →∞ f x n n 当且仅当对任意 k ≥ 1, 存在 m ≥ 1, 使得对任 意n ≥ m成立 . 1 ( ) k f x n < 因此我们有 (ii). (I ) U . ( ). tT C t C t T At = A 交的余集等于余集的并 ∈