第6期 王金英，等：二型直觉模糊粗糙集 ·947. 定理5设(U,R)是一个二型直觉模糊近似 [ur(x,y)△μr(y,z)]<ur(x,z) 空间，A是论域U上的一个二型直觉模糊集，则下 且△[Ue(x,y)Vve(y,z)]>e(x,z)。 列性质成立： 那么有 1)若R是自反的，则R(A)二ACR(A)。 RRa)(x)=V,eU[uRA)(y)△μR(x,y)]= 2)若R是对称的，则x,y∈U,1,)(y)= V,eu[Veu(uA(t)μr(y,t))]△R(x,y)}= L,(x),a(y）=Di4(x)-)(x)= VeulVieu[(ua(t)Aue(y,t))Aue(x,y)]= La-)（y）,"1-t1)（x)="a-)（y)。 V.eV,eu[(t)A(uR(y,t)Aug(x,y))]= Veuu(t)△[V,eu(uR(y,t)μe(x,y))]} 3)若R是传递的，则R(R(A)CR(A),R(A) <V:eu[(t)AuR(x,t)]=uica)(x) CR(R(A))。 类似地，有 证明1)若R是自反的，则Hx∈，(x,x)= "4,(x)=,[a(y）VvR(x,y)]>(x) 且(x,)=0。 1 1 所以，R(R(A))CR(A)。 那么有 同理可得：R(A)CR(R(A)) L(x)=,A[u(y)V(x,y)]< 4结束语 A,(),)=,()哈=，( 由于二型模糊系统具有较强的鲁棒性，在鲁棒 并且 控制、信号处理和系统辨识领域具有广泛的应用前 UR(A)(x)= 景，因此将二型模糊集与粗糙集融合建模无疑具有 理论意义和实际价值。直觉模糊集因其在对问题的 Ve[(y)△R(x,y）]>UA(x)△uR(x,x)= 描述上比模糊集更细腻，成为模糊集的自然推广，因 "(x)=(x) 此二型直觉模糊集与粗糙集的融合在实际应用中将 会有更好地效果。本文将二型直觉模糊集和粗糙集 所以，R(A)CA。同理可得：ACR(A)。 相融合，建立二型直觉模糊粗糙集模型，同时给出了 即R(A)CACR(A)。 上、下近似算子的一些性质，为二型直觉模糊信息系 2)若R是对称的，则Hx,y∈U,(x,y)= 统的约简奠定了基础，也为二型直觉模糊信息系统 uR(y,x)且UR(x,y)=R(y,x)。 的应用提供了理论保障。 那么有 参考文献： R,)（y)=Veu[u1,(t)4μe(y,t)]= [u,(x)4r(y,x)]V{-[,(t)4r(y,t)]}= [1]ZADEH L A.Fuzzy sets J].Information and Control, 1965,8(3):338-353. [74y,)]1[O4y,0]}= [2]ATANASSOV K T.Intuitionstic fuzzy sets[J].Fuzzy Sets and Systems,1986,20(1):87-96. (,)1。A[=,0] [3]ATANASSOV K T,GARGOV G.Interval valued intuition- stic fuzzy sets[J].Fuzzy Sets and Systems,1989,31(3): [,)哈]△(.)-0]= 343-349. [4]ZADEH L A.The concept of a linguistic variable and its ap- uR(y,x)Alun(y,x)V[ViuuR(y,t)]= plication to approximate reasoning[J].Information Science, uR(y,x) 1975,8(3):199-249. 类似地，有，(x)=Ve[山，(t)4r(x,)]= [5]MENDEL J M,JOHN R I B.Type-2 fuzzy sets made simple (x,y）,所以，，（y)=4,(x)。 [J].IEEE Transactions on Fuzzy Systems,2002,10(2): 同理可得 117-127. 1)(y）=1,(x) [6]PAWLAK Z.Rough sets[J].International Journal of Com- puter Information Sciences,1982,11(5):341-356. 儿-)(x）=L-)（y） [7]DUBOIS D,PRADE H.Rough fuzzy sets and fuzzy rough "-1)（x)=t1-)（y） sets[J].International Journal of General Systems,1990,17 3)若R是传递的，则Hx,y,z∈U,VyeU (2-3):191-209.定理 ５ 设 （Ｕ，Ｒ） 是一个二型直觉模糊近似 空间， Ａ 是论域 Ｕ 上的一个二型直觉模糊集，则下 列性质成立： １）若 Ｒ 是自反的，则 Ｒ＿ （Ａ） ⊆ Ａ ⊆ Ｒ － （Ａ） 。 ２） 若 Ｒ 是对称的，则 ∀ｘ，ｙ ∈ Ｕ，μＲ － （１ｘ ）（ｙ） ＝ μＲ － （１ｙ ）（ｘ），ｖＲ － （１ｘ ）（ｙ） ＝ ｖＲ － （１ｙ ）（ｘ），μＲ ＿ （１Ｕ－{ｙ} ）（ｘ） ＝ μＲ ＿ （１Ｕ－{ｘ} ）（ｙ），ｖＲ ＿ （１Ｕ－{ｙ} ）（ｘ） ＝ ｖＲ ＿ （１Ｘ－{ｘ} ）（ｙ）。 ３）若 Ｒ 是传递的，则 Ｒ － （Ｒ － （Ａ）） ⊆ Ｒ － （Ａ），Ｒ＿ （Ａ） ⊆ Ｒ＿ （Ｒ＿ （Ａ）） 。 证明 １）若 Ｒ 是自反的，则 ∀ｘ ∈ Ｕ，μＲ（ｘ，ｘ） ＝ １ １ 且 ｖＲ（ｘ，ｘ） ＝ １ ０ 。 那么有 μＲ ＿ （Ａ）（ｘ） ＝ Δ ｙ∈Ｕ ［μＡ（ｙ） ÑｖＲ（ｘ，ｙ）］ ≺ μＡ（ｘ） ÑｖＲ（ｘ，ｘ） ＝ μＡ（ｘ） Ñ １ ０ ＝ μＡ（ｘ） 并且 ｖＲ ＿ （Ａ）（ｘ） ＝ Ñｙ∈Ｕ［ｖＡ（ｙ）ΔμＲ（ｘ，ｙ）］ ≻ ｖＡ（ｘ）ΔμＲ（ｘ，ｘ） ＝ ｖＡ（ｘ）Δ １ １ ＝ ｖＡ（ｘ） 所以， Ｒ＿ （Ａ） ⊆ Ａ 。 同理可得： Ａ ⊆ Ｒ － （Ａ） 。 即 Ｒ＿ （Ａ） ⊆ Ａ ⊆ Ｒ － （Ａ） 。 ２） 若 Ｒ 是对称的， 则 ∀ｘ，ｙ ∈ Ｕ，μＲ（ｘ，ｙ） ＝ μＲ（ｙ，ｘ） 且 ｖＲ（ｘ，ｙ） ＝ ｖＲ（ｙ，ｘ） 。 那么有 μＲ － （１ｘ ）（ｙ） ＝ Ñｔ∈Ｕ［μ１ｘ （ｔ）ΔμＲ（ｙ，ｔ）］ ＝ ［μ１ｘ （ｘ）ΔμＲ（ｙ，ｘ）］ Ñ｛Ñｔ≠ｘ［μ１ｘ （ｔ）ΔμＲ（ｙ，ｔ）］｝ ＝ ［ １ １ ΔμＲ（ｙ，ｘ）］ Ñ｛Ñｔ≠ｘ［ １ ０ ΔμＲ（ｙ，ｔ）］｝ ＝ μＲ（ｙ，ｘ） Ñ｛ １ ０ Δ［Ñｔ≠ｘμＲ（ｙ，ｔ）］｝ ＝ ［μＲ（ｙ，ｘ） Ñ １ ０ ］Δ｛μＲ（ｙ，ｘ） Ñ［Ñｔ≠ｘμＲ（ｙ，ｔ）］｝ ＝ μＲ（ｙ，ｘ）Δ｛μＲ（ｙ，ｘ） Ñ［Ñｔ≠ｘμＲ（ｙ，ｔ）］｝ ＝ μＲ（ｙ，ｘ） 类 似 地， 有 μＲ － （１ｙ ）（ｘ） ＝ Ñ ｔ∈Ｕ［μ１ｙ （ｔ）ΔμＲ（ｘ，ｔ）］ ＝ μＲ（ｘ，ｙ）， 所以， μＲ － （１ｘ ）（ｙ） ＝ μＲ － （１ｙ ）（ｘ） 。 同理可得 ｖＲ － （１ｘ ）（ｙ） ＝ ｖＲ － （１ｙ ）（ｘ） μＲ ＿ （１Ｕ－{ｙ} ）（ｘ） ＝ μＲ ＿ （１Ｕ－{ｘ} ）（ｙ） ｖＲ ＿ （１Ｕ－{ｙ} ）（ｘ） ＝ ｖＲ ＿ （１Ｘ－{ｘ} ）（ｙ） ３ ） 若 Ｒ 是 传 递 的， 则 ∀ｘ，ｙ，ｚ ∈ Ｕ， Ñｙ∈Ｕ μＲ (ｘ，ｙ) ΔμＲ [ (ｙ，ｚ) ] ≺ μＲ (ｘ，ｚ) 且 Δ ｙ∈Ｕ ｖＲ (ｘ，ｙ) ÑｖＲ [ (ｙ，ｚ) ] ≻ ｖＲ (ｘ，ｚ) 。 那么有 μＲ － （Ｒ － （Ａ））（ｘ） ＝ Ñｙ∈Ｕ［μＲ － （Ａ）（ｙ）ΔμＲ（ｘ，ｙ）］ ＝ Ñｙ∈Ｕ｛［Ñｔ∈Ｕ（μＡ（ｔ）ΔμＲ（ｙ，ｔ））］ΔμＲ（ｘ，ｙ）｝ ＝ Ñｙ∈Ｕ｛Ñｔ∈Ｕ［（μＡ（ｔ）ΔμＲ（ｙ，ｔ））ΔμＲ（ｘ，ｙ）］｝ ＝ Ñｔ∈ＵÑｙ∈Ｕ［μＡ（ｔ）Δ（μＲ（ｙ，ｔ）ΔμＲ（ｘ，ｙ））］ ＝ Ñｔ∈Ｕ｛μＡ（ｔ）Δ［Ñｙ∈Ｕ（μＲ（ｙ，ｔ）ΔμＲ（ｘ，ｙ））］｝ ≺ Ñｔ∈Ｕ［μＡ（ｔ）ΔμＲ（ｘ，ｔ）］ ＝ μＲ － （Ａ）（ｘ） 类似地，有 ｖＲ － （Ｒ － （Ａ））（ｘ） ＝ Δ ｙ∈Ｕ ［ｖＲ － （Ａ）（ｙ） ÑｖＲ（ｘ，ｙ）］ ≻ ｖＲ － （Ａ）（ｘ） 所以， Ｒ － （Ｒ － （Ａ）） ⊆ Ｒ － （Ａ） 。 同理可得： Ｒ＿ （Ａ） ⊆ Ｒ＿ （Ｒ＿ （Ａ）） ４ 结束语 由于二型模糊系统具有较强的鲁棒性，在鲁棒 控制、信号处理和系统辨识领域具有广泛的应用前 景，因此将二型模糊集与粗糙集融合建模无疑具有 理论意义和实际价值。 直觉模糊集因其在对问题的 描述上比模糊集更细腻，成为模糊集的自然推广，因 此二型直觉模糊集与粗糙集的融合在实际应用中将 会有更好地效果。 本文将二型直觉模糊集和粗糙集 相融合，建立二型直觉模糊粗糙集模型，同时给出了 上、下近似算子的一些性质，为二型直觉模糊信息系 统的约简奠定了基础，也为二型直觉模糊信息系统 的应用提供了理论保障。 参考文献： ［１］ ＺＡＤＥＨ Ｌ Ａ． Ｆｕｚｚｙ ｓｅｔｓ ［ Ｊ］． Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ ａｎｄ Ｃｏｎｔｒｏｌ， １９６５， ８（３）： ３３８⁃３５３． ［２］ ＡＴＡＮＡＳＳＯＶ Ｋ Ｔ． Ｉｎｔｕｉｔｉｏｎｓｔｉｃ ｆｕｚｚｙ ｓｅｔｓ［ Ｊ］． Ｆｕｚｚｙ Ｓｅｔｓ ａｎｄ Ｓｙｓｔｅｍｓ， １９８６， ２０（１）： ８７⁃９６． ［３］ＡＴＡＮＡＳＳＯＶ Ｋ Ｔ， ＧＡＲＧＯＶ Ｇ． Ｉｎｔｅｒｖａｌ ｖａｌｕｅｄ ｉｎｔｕｉｔｉｏｎ⁃ ｓｔｉｃ ｆｕｚｚｙ ｓｅｔｓ［Ｊ］． Ｆｕｚｚｙ Ｓｅｔｓ ａｎｄ Ｓｙｓｔｅｍｓ， １９８９， ３１（３）： ３４３⁃３４９． ［４］ＺＡＤＥＨ Ｌ Ａ． Ｔｈｅ ｃｏｎｃｅｐｔ ｏｆ ａ ｌｉｎｇｕｉｓｔｉｃ ｖａｒｉａｂｌｅ ａｎｄ ｉｔｓ ａｐ⁃ ｐｌｉｃａｔｉｏｎ ｔｏ ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｅ ｒｅａｓｏｎｉｎｇ［Ｊ］． Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ Ｓｃｉｅｎｃｅ， １９７５， ８（３）： １９９⁃２４９． ［５］ＭＥＮＤＥＬ Ｊ Ｍ， ＪＯＨＮ Ｒ Ｉ Ｂ． Ｔｙｐｅ⁃２ ｆｕｚｚｙ ｓｅｔｓ ｍａｄｅ ｓｉｍｐｌｅ ［Ｊ］． ＩＥＥＥ Ｔｒａｎｓａｃｔｉｏｎｓ ｏｎ Ｆｕｚｚｙ Ｓｙｓｔｅｍｓ， ２００２， １０（２）： １１７⁃１２７． ［６］ＰＡＷＬＡＫ Ｚ． Ｒｏｕｇｈ ｓｅｔｓ［ Ｊ］． Ｉｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌ Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｃｏｍ⁃ ｐｕｔｅｒ ＆ Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ Ｓｃｉｅｎｃｅｓ， １９８２， １１（５）： ３４１⁃３５６． ［７］ＤＵＢＯＩＳ Ｄ， ＰＲＡＤＥ Ｈ． Ｒｏｕｇｈ ｆｕｚｚｙ ｓｅｔｓ ａｎｄ ｆｕｚｚｙ ｒｏｕｇｈ ｓｅｔｓ［Ｊ］． Ｉｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌ Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｇｅｎｅｒａｌ Ｓｙｓｔｅｍｓ， １９９０， １７ （２⁃３）： １９１⁃２０９． 第 ６ 期 王金英，等：二型直觉模糊粗糙集 ·９４７·