.946. 智能系统学报 第10卷 Ra(x)=V,eu[ur(y)△μe(x,y)]= R(A∩B)=R(A)∩R(B); V,eu[v(y)Aug(x,y)]= 2)R(A∩B)CR(A)∩R(B), URc)(x),(x)=A[v(y)VuR(x,y)]= R(AUB)2R(A)UR(B)。 ,[(y）Vur(x,)]=a(x) 证明1)对于Hx∈0，有 所以 uicum (x)=Vyeu[uun(y)AuR(x.y)]= R(A)={(x,R4(x),(x)）1x∈U}= Vyeu[(u(y)Vue(y))AuR(x,y)] {Kx,"(x),Ra(x)）Ix∈U川=R(A) V,eu{[u(y)△R(x,y)]7[s(y)△μe(x,y)]}= IV,eulm(y)Aug(x.y)VIV,eulua(y)AuR(x.y)] 同理可得：R(A)=R(A)。 R(A)(x)V(B)(x)=R()RB)(x) 2)若A≤B,即Hx∈U,u(x)<g(x)且 类似地，有 U(x)>g(x),则有 i4um(x）=,[4uay)）Ve(x,）]= uica)(x)=V,eulu(y)AuR(x,y)] A[(v(y)Avg(y))Veg(x.y)]= V,eu[uB(y)AuR(x,y)]=ui()(x) (x)=A[v(y)Vog(x.y) (x)Av((x)=R((x) 之[a）Vw(x,)]=(x) 所以，R(AUB)=R(A)UR(B)。 同理可得：R(A∩B)=R(A)∩R(B)。 所以，R(A)CR(B)。同理可得：R(A)CR(B)。 4)因为A∩BCA,B,由定理3的性质(2)有 3)若R1CR2,即x∈U,R(x,y)<(x, R(A∩B)CR(A),R(B) y）且vR(x,y）>U(x,y),那么有 R(x)=7,eU[ua(y）△r,(x,y)] 所以，R(A∩B)CR(A)∩R(B)。 V,eu[u(y)AuR,(x,y)]=uR(4)(x) 同理可得：R(AUB)2R(A)UR(B)。 ((x)=A[v(y)Vug(x.y)] 3 二型直觉模糊关系与近似算子的特 >,A[(y）Vn(x,y）]=a(x) 征联系 所以，R1(A)CR2(A)。 同理可得：R2(A)CR(A)。 定义6设R是论域U×U上的二型直觉模糊 需要指出的是，由于上文中研究的二型直觉模 关系，规定 糊集的运算不满足分配律和吸收律，导致二型直觉 模糊近似算子的一些性质不成立。例如 1)R是自反的oVx∈U,,(x,)=且 R(AUB)=R(A)UR(B) 0石 R(A∩B)=R(A)∩R(B) 2)R是对称的台x,y∈U,R(x,y)=r（y, R(A∩B)SR(A)∩R(B) x)且UR(x,y)=vR(y,x)。 R(AUB)2R(A)UR(B) 3)R是传递的台Hx,y,z∈U,7,U 都不成立。如果限定所有二型直觉模糊集的主隶属 [uR(x,y）△μr(y,z)]<uR(x,2) 度和主非隶属度均为标准的凸一型模糊集，那么上 且△[vg(x,y)Vvr(y,z)]>'r(x,z)o 述性质便成立，其原因是：上述性质的证明过程需要 定义7对于Hy∈U,二型单值直觉模糊集 使用分配律和吸收律。 1,和其补集1- 分别定义如下： 为了便于研究和计算，假设下文中讨论的所有 [1 [ 二型直觉模糊集都满足如下条件：主隶属度和主非 0x=y, 隶属度都是标准的凸一型模糊集。 u1,(x)= 1 ,(x)= 0x*: 1 定理4设R和R是定义4中的上、下近似算 子，A、B是论域U上的2个二型直觉模糊集，则有 0t=y, 下列性质： 4.(x)= 1 1)R(A UB)=R(A)UR(B), ,X≠y 0μＲ － （Ａｃ）（ｘ） ＝ Ñｙ∈Ｕ［μＡｃ（ｙ）ΔμＲ（ｘ，ｙ）］ ＝ Ñｙ∈Ｕ［ｖＡ（ｙ）ΔμＲ（ｘ，ｙ）］ ＝ ｖＲ ＿ （Ａ）（ｘ），ｖＲ － （Ａｃ）（ｘ） ＝ Δ ｙ∈Ｕ ［ｖＡｃ（ｙ） ÑｖＲ（ｘ，ｙ）］ ＝ Δ ｙ∈Ｕ ［μＡ（ｙ） ÑｖＲ（ｘ，ｙ）］ ＝ μＲ ＿ （Ａ）（ｘ） 所以 Ｒ － （Ａ ｃ ） ＝ ｛〈ｘ，μＲ － （Ａｃ）（ｘ），ｖＲ － （Ａｃ）（ｘ）〉 ｜ ｘ ∈ Ｕ｝ ＝ ｛〈ｘ，ｖＲ ＿ （Ａ）（ｘ），μＲ ＿ （Ａ）（ｘ）〉 ｜ ｘ ∈ Ｕ｝ ＝ Ｒ＿ ｃ （Ａ） 同理可得： Ｒ＿ （Ａ ｃ ） ＝ Ｒ － ｃ （Ａ） 。 ２）若 Ａ ⊆ Ｂ ，即 ∀ｘ ∈ Ｕ ， μＡ（ｘ） ≺ μＢ（ｘ） 且 ｖＡ（ｘ） ≻ ｖＢ（ｘ） ，则有 μＲ － （Ａ）（ｘ） ＝ Ñｙ∈Ｕ［μＡ（ｙ）ΔμＲ（ｘ，ｙ）］ ≺ Ñｙ∈Ｕ［μＢ（ｙ）ΔμＲ（ｘ，ｙ）］ ＝ μＲ － （Ｂ）（ｘ） ｖＲ － （Ａ）（ｘ） ＝ Δ ｙ∈Ｕ ［ｖＡ（ｙ） ÑｖＲ（ｘ，ｙ）］ ≻ Δ ｙ∈Ｕ ［ｖＢ（ｙ） ÑｖＲ（ｘ，ｙ）］ ＝ ｖＲ － （Ｂ）（ｘ） 所以， Ｒ － （Ａ） ⊆ Ｒ － （Ｂ） 。 同理可得： Ｒ＿ （Ａ） ⊆ Ｒ＿ （Ｂ） 。 ３）若 Ｒ１ ⊆ Ｒ２ ，即 ∀ｘ ∈ Ｕ ， μＲ１ （ｘ，ｙ） ≺ μＲ２ （ｘ， ｙ） 且 ｖＲ１ （ｘ，ｙ） ≻ ｖＲ２ （ｘ，ｙ） ，那么有 μＲ１ （Ａ）（ｘ） ＝ Ñｙ∈Ｕ［μＡ（ｙ）ΔμＲ１ （ｘ，ｙ）］ ≺ Ñｙ∈Ｕ［μＡ（ｙ）ΔμＲ２ （ｘ，ｙ）］ ＝ μＲ２ （Ａ）（ｘ） ｖＲ１ （Ａ）（ｘ） ＝ Δ ｙ∈Ｕ ［ｖＡ（ｙ） ÑｖＲ１ （ｘ，ｙ）］ ≻ Δ ｙ∈Ｕ ［ｖＡ（ｙ） ÑｖＲ２ （ｘ，ｙ）］ ＝ ｖＲ２ （Ａ）（ｘ） 所以， Ｒ１ （Ａ） ⊆ Ｒ２ （Ａ） 。 同理可得： Ｒ２ ＿ （Ａ） ⊆ Ｒ１ ＿ （Ａ） 。 需要指出的是，由于上文中研究的二型直觉模 糊集的运算不满足分配律和吸收律，导致二型直觉 模糊近似算子的一些性质不成立。 例如 Ｒ － （Ａ ∪ Ｂ） ＝ Ｒ － （Ａ） ∪ Ｒ － （Ｂ） Ｒ＿ （Ａ ∩ Ｂ） ＝ Ｒ＿ （Ａ） ∩ Ｒ＿ （Ｂ） Ｒ － （Ａ ∩ Ｂ） ⊆ Ｒ － （Ａ） ∩ Ｒ － （Ｂ） Ｒ＿ （Ａ ∪ Ｂ） ⊇ Ｒ＿ （Ａ） ∪ Ｒ＿ （Ｂ） 都不成立。 如果限定所有二型直觉模糊集的主隶属 度和主非隶属度均为标准的凸一型模糊集，那么上 述性质便成立，其原因是：上述性质的证明过程需要 使用分配律和吸收律。 为了便于研究和计算，假设下文中讨论的所有 二型直觉模糊集都满足如下条件：主隶属度和主非 隶属度都是标准的凸一型模糊集。 定理 ４ 设 Ｒ － 和 Ｒ＿ 是定义 ４ 中的上、下近似算 子， Ａ、Ｂ 是论域 Ｕ 上的 ２ 个二型直觉模糊集，则有 下列性质： １） Ｒ － （Ａ ∪ Ｂ） ＝ Ｒ － （Ａ） ∪ Ｒ － （Ｂ） ， Ｒ＿ （Ａ ∩ Ｂ） ＝ Ｒ＿ （Ａ） ∩ Ｒ＿ （Ｂ） ； ２） Ｒ － （Ａ ∩ Ｂ） ⊆ Ｒ － （Ａ） ∩ Ｒ － （Ｂ） ， Ｒ＿ （Ａ ∪ Ｂ） ⊇ Ｒ＿ （Ａ） ∪ Ｒ＿ （Ｂ） 。 证明 １）对于 ∀ｘ ∈ Ｕ ，有 μＲ － （Ａ∪Ｂ）（ｘ） ＝ Ñｙ∈Ｕ［μＡ∪Ｂ（ｙ）ΔμＲ（ｘ，ｙ）］ ＝ Ñｙ∈Ｕ［ (μＡ（ｙ） ÑμＢ（ｙ） ) ΔμＲ（ｘ，ｙ）］ ＝ Ñｙ∈Ｕ｛［μＡ（ｙ）ΔμＲ（ｘ，ｙ）］ Ñ［μＢ（ｙ）ΔμＲ（ｘ，ｙ）］｝ ＝ ｛Ñｙ∈Ｕ［μＡ（ｙ）ΔμＲ（ｘ，ｙ）］｝ Ñ｛Ñｙ∈Ｕ［μＢ（ｙ）ΔμＲ（ｘ，ｙ）］｝ ＝ μＲ － （Ａ）（ｘ） ÑμＲ － （Ｂ）（ｘ） ＝ μＲ － （Ａ）∪Ｒ － （Ｂ）（ｘ） 类似地，有 ｖＲ － （Ａ∪Ｂ）（ｘ） ＝ Δ ｙ∈Ｕ ［ｖＡ∪Ｂ（ｙ） ÑｖＲ（ｘ，ｙ）］ ＝ Δ ｙ∈Ｕ ［ ｖＡ（ｙ）Δｖ ( Ｂ（ｙ） ) ÑｖＲ（ｘ，ｙ）］ ＝ ｖＲ － （Ａ）（ｘ）ΔｖＲ － （Ｂ）（ｘ） ＝ ｖＲ － （Ａ）∪Ｒ － （Ｂ）（ｘ） 所以， Ｒ － （Ａ ∪ Ｂ） ＝ Ｒ － （Ａ） ∪ Ｒ － （Ｂ） 。 同理可得： Ｒ＿ （Ａ ∩ Ｂ） ＝ Ｒ＿ （Ａ） ∩ Ｒ＿ （Ｂ） 。 ４）因为 Ａ ∩ Ｂ ⊆ Ａ，Ｂ ，由定理 ３ 的性质（２）有 Ｒ － （Ａ ∩ Ｂ） ⊆ Ｒ － （Ａ），Ｒ － （Ｂ） 所以， Ｒ － （Ａ ∩ Ｂ） ⊆ Ｒ － （Ａ） ∩ Ｒ － （Ｂ） 。 同理可得： Ｒ＿ （Ａ ∪ Ｂ） ⊇ Ｒ＿ （Ａ） ∪ Ｒ＿ （Ｂ） 。 ３ 二型直觉模糊关系与近似算子的特 征联系 定义 ６ 设 Ｒ 是论域 Ｕ × Ｕ 上的二型直觉模糊 关系，规定 １） Ｒ 是自反的 ⇔∀ｘ ∈ Ｕ， μＲ（ｘ，ｘ） ＝ １ １ 且 ｖＲ（ｘ，ｘ） ＝ １ ０ 。 ２） Ｒ 是对称的 ⇔∀ｘ，ｙ ∈ Ｕ，μＲ（ｘ，ｙ） ＝ μＲ（ｙ， ｘ） 且 ｖＲ（ｘ，ｙ） ＝ ｖＲ（ｙ，ｘ） 。 ３ ） Ｒ 是 传 递 的 ⇔∀ｘ，ｙ，ｚ ∈ Ｕ， Ñ ｙ∈Ｕ μＲ (ｘ，ｙ) ΔμＲ [ (ｙ，ｚ) ] ≺ μＲ (ｘ，ｚ) 且 Δ ｙ∈Ｕ ｖＲ (ｘ，ｙ) ÑｖＲ [ (ｙ，ｚ) ] ≻ ｖＲ (ｘ，ｚ) 。 定义 ７ 对于 ∀ｙ ∈ Ｕ ，二型单值直觉模糊集 １ｙ 和其补集 １Ｕ－{ｙ} 分别定义如下： μ１ｙ （ｘ） ＝ １ １ ，ｘ ＝ ｙ， １ ０ ，ｘ ≠ ｙ； ì î í ï ï ï ï ｖ１ｙ （ｘ） ＝ １ ０ ，ｘ ＝ ｙ， １ １ ，ｘ ≠ ｙ； ì î í ï ï ï ï μ１Ｕ－{ｙ} （ｘ） ＝ １ ０ ，ｘ ＝ ｙ， １ １ ，ｘ ≠ ｙ； ì î í ï ï ï ï ｖ１Ｕ－{ｙ} （ｘ） ＝ １ １ ，ｘ ＝ ｙ， １ ０ ，ｘ ≠ ｙ ì î í ï ï ï ï ·９４６· 智 能 系 统 学 报 第 １０ 卷