第6期 王金英，等：二型直觉模糊粗糙集 .945. 系，称(U,R)是二型直觉模糊近似空间，A是论域 模糊粗糙集。由此可见，本文给出的二型直觉模糊粗 U上的一个二型直觉模糊集，A关于近似空间(U, 糙集是文献[10]中的二型模糊粗糙集的推广。 R)的上近似和下近似分别是定义在U上的二型直 2)当R退化为U×U上的等价关系，A为U上 觉模糊集，具体形式如下 的二型直觉模糊集时，定义4中的二型直觉模糊粗 R(A)={(x,R(x),Ra(x)）|x∈U 糙集退化为如下形式： R(A)={(x,R(x),(x)）1x∈U川 R(A)={(x,R(x),RA(x)）Ix∈U 其中 R(A)={〈x,RA)(x),URa)(x)〉Ix∈U uica)(x)=Vyeu[ua(y)AuR(x,y) 其中 v(x)=A[(y)Veg(x.y)] Ra)(x)=7,e(y） (x)=,[n(y）Vwr(x,y)] vRA)(x)=4,DA(y） ye[x]R m(x)=V,euLv(y)Aug(x.y)] (x)=,A） 称(R(A)、R(A))为A关于(U,R)的二型直觉模 gA(x)=V,回(y） 糊粗糙集。 称(R(A)、R(A))为A关于(U,R)的粗糙二型直 下面讨论特殊情况下的模型形式。 觉模糊集。 1)当R退化为U×U上的普通二型模糊关系， 下面讨论定义4中的二型直觉模糊粗糙近似算子 A退化为U上的普通二型模糊集时，定义4中的二 的性质。为此先将文献[12-13]中有关普通二型模糊 型直觉模糊粗糙集退化为文献[10]中的二型模糊 集之间包含关系的定义推广到二型直觉模糊集。 粗糙集。 定义5设A、B是论域U上的2个二型直觉 这是因为，对Hx,y∈U,此时有 模糊集，规定 a(x)=]f.(u)/u ACB台Hx∈U,ua(x)<ug(x) e 且，(x)>(x),其中序关系<，>定义为 (x)=(w)(1-w）=n(x),Ec[0,1 u(x)<Lg(x)台μ(x)△μg(x)=u(x) he(x,）=en(u)n 台(x)μg(x)=g(x) ueJt:,y） v(x)>B(x)(x)VvB(x)=v(x) (x,y）=」fn(u)/(1-u)=7r(x,y) 台U(x)△rB(x)=DB(x) ucR:) wc[0,1] 定义5中的的序关系具有如下性质。 且由文献[12]可知下式成立： 定理2设A,B,C是论域U上的3个二型直 (uu(x)△μs(x))=L(x）7u(x) 觉模糊集，若ACB,即Hx∈U,(x)<ug(x) ((Vu(x))=)A-B(x) 且(x)>(x)。则有下式成立： 从而有 ua(x)Vμc(x)<ua(x)Vμc(x) vR (x)=A[v(y)VeR(x,y)]= u(x)△uc(x)>vB(x)△Uc(x) A[()Vk(x,y)]= (x)Auc(x)<uB(x)Auc(x) va(x)Vvc(x)vg(x)Vvc(x) △[u(y)μR(x,y)]= 证明由定义5可直接验证。 Vyeulu(y)AuR(x,y)]= 定理3设R和R是定义4中的上、下近似算 7R(a)(x) 即 子，A、B是论域U上的2个二型直觉模糊集，则有 下列性质： R(A)={Kx,R(x),T(x)Ix∈U川 为普通二型模糊集。 1)R(A)=R(A),R(A)=R(A); 同理可得 2)AC B=R(A)R(B),R(A)R(B) R(A)={(x,Ra(x),Ta(x)）Ix∈U 3)R C R2 R(A)C R2(A),R2(A)C 为普通二型模糊集。 R(A)。 于是(R(A),R(A)为A关于(U,R)的普通二型 证明1)因为系，称 （Ｕ，Ｒ） 是二型直觉模糊近似空间， Ａ 是论域 Ｕ 上的一个二型直觉模糊集， Ａ 关于近似空间 （Ｕ， Ｒ） 的上近似和下近似分别是定义在 Ｕ 上的二型直 觉模糊集，具体形式如下 Ｒ － （Ａ） ＝ ｛〈ｘ，μＲ － （Ａ）（ｘ），ｖＲ － （Ａ）（ｘ）〉 ｜ ｘ ∈ Ｕ｝ Ｒ＿ （Ａ） ＝ ｛〈ｘ，μＲ ＿ （Ａ）（ｘ），ｖＲ ＿ （Ａ）（ｘ）〉 ｜ ｘ ∈ Ｕ｝ 其中 μＲ － （Ａ）（ｘ） ＝ Ñｙ∈Ｕ［μＡ（ｙ）ΔμＲ（ｘ，ｙ）］ ｖＲ － （Ａ）（ｘ） ＝ Δ ｙ∈Ｕ ［ｖＡ（ｙ） ÑｖＲ（ｘ，ｙ）］ μＲ ＿ （Ａ）（ｘ） ＝ Δ ｙ∈Ｕ ［μＡ（ｙ） ÑｖＲ（ｘ，ｙ）］ ｖＲ ＿ （Ａ）（ｘ） ＝ Ñｙ∈Ｕ［ｖＡ（ｙ）ΔμＲ（ｘ，ｙ）］ 称 （Ｒ＿ （Ａ）、Ｒ － （Ａ）） 为 Ａ 关于 （Ｕ，Ｒ） 的二型直觉模 糊粗糙集。 下面讨论特殊情况下的模型形式。 １）当 Ｒ 退化为 Ｕ × Ｕ 上的普通二型模糊关系， Ａ 退化为 Ｕ 上的普通二型模糊集时，定义 ４ 中的二 型直觉模糊粗糙集退化为文献［１０］中的二型模糊 粗糙集。 这是因为，对 ∀ｘ，ｙ ∈ Ｕ ，此时有 μＡ（ｘ） ＝ ∫ ｕ∈Ｊ ｕ ｘ ｆ ｘ（ｕ） ／ ｕ ｖＡ（ｘ） ＝ ∫ ｕ∈Ｊ ｕ ｘ ｆ ｘ（ｕ） ／ （１ － ｕ） ＝ ¬ μＡ（ｘ），Ｊ ｕ ｘ ⊆ ［０，１］ μＲ（ｘ，ｙ） ＝ ∫ ｕ∈Ｊ ｕ （ｘ，ｙ） ｆ （ｘ，ｙ）（ｕ） ／ ｕ ｖＲ（ｘ，ｙ） ＝ ∫ ｕ∈Ｊ ｕ （ｘ，ｙ） ｆ （ｘ，ｙ）（ｕ） ／ （１ － ｕ） ＝ ¬ μＲ（ｘ，ｙ） Ｊ ｕ （ｘ，ｙ） ⊆ ［０，１］ 且由文献［１２］可知下式成立： ¬ （μＡ（ｘ）ΔμＢ（ｘ）） ＝ ¬ μＡ（ｘ） Ѭ μＢ（ｘ） ¬ （μＡ（ｘ） ÑμＢ（ｘ）） ＝ ¬ μＡ（ｘ）Δ¬ μＢ（ｘ） 从而有 ｖＲ － （Ａ）（ｘ） ＝ Δ ｙ∈Ｕ ［ｖＡ（ｙ） ÑｖＲ（ｘ，ｙ）］ ＝ Δ ｙ∈Ｕ ［¬ μＡ（ｙ） Ѭ μＲ（ｘ，ｙ）］ ＝ Δ ｙ∈Ｕ ¬ ［μＡ（ｙ）ΔμＲ（ｘ，ｙ）］ ＝ ¬ Ñｙ∈Ｕ［μＡ（ｙ）ΔμＲ（ｘ，ｙ）］ ＝ ¬ μＲ － （Ａ）（ｘ） 即 Ｒ － （Ａ） ＝ ｛〈ｘ，μＲ － （Ａ）（ｘ），¬ μＲ － （Ａ）（ｘ）〉 ｜ ｘ ∈ Ｕ｝ 为普通二型模糊集。 同理可得 Ｒ＿ （Ａ） ＝ ｛〈ｘ，μＲ ＿ （Ａ）（ｘ），¬ μＲ ＿ （Ａ）（ｘ）〉 ｜ ｘ ∈ Ｕ｝ 为普通二型模糊集。 于是 （Ｒ＿ （Ａ），Ｒ － （Ａ）） 为 Ａ 关于 （Ｕ，Ｒ） 的普通二型 模糊粗糙集。 由此可见，本文给出的二型直觉模糊粗 糙集是文献［１０］中的二型模糊粗糙集的推广。 ２）当 Ｒ 退化为 Ｕ × Ｕ 上的等价关系， Ａ 为 Ｕ 上 的二型直觉模糊集时，定义 ４ 中的二型直觉模糊粗 糙集退化为如下形式： Ｒ － （Ａ） ＝ ｛〈ｘ，μＲ － （Ａ）（ｘ），ｖＲ － （Ａ）（ｘ）〉 ｜ ｘ ∈ Ｕ｝ Ｒ＿ （Ａ） ＝ ｛〈ｘ，μＲ ＿ （Ａ）（ｘ），ｖＲ ＿ （Ａ）（ｘ）〉 ｜ ｘ ∈ Ｕ｝ 其中 μＲ － （Ａ）（ｘ） ＝ Ñｙ∈［ｘ］ ＲμＡ（ｙ） ｖＲ － （Ａ）（ｘ） ＝ Δ ｙ∈［ｘ］ Ｒ ｖＡ（ｙ） μＲ ＿ （Ａ）（ｘ） ＝ Δ ｙ∈［ｘ］ Ｒ μＡ（ｙ） ｖＲ ＿ （Ａ）（ｘ） ＝ Ñｙ∈［ｘ］ Ｒ ｖＡ（ｙ） 称 （Ｒ＿ （Ａ）、Ｒ － （Ａ）） 为 Ａ 关于 （Ｕ，Ｒ） 的粗糙二型直 觉模糊集。 下面讨论定义 ４ 中的二型直觉模糊粗糙近似算子 的性质。 为此先将文献［１２⁃１３］中有关普通二型模糊 集之间包含关系的定义推广到二型直觉模糊集。 定义 ５ 设 Ａ、Ｂ 是论域 Ｕ 上的 ２ 个二型直觉 模糊集，规定 Ａ ⊆ Ｂ⇔∀ｘ ∈ Ｕ，μＡ（ｘ） ≺ μＢ（ｘ） 且 ｖＡ（ｘ） ≻ ｖＢ（ｘ） ，其中序关系 ≺， ≻ 定义为 μＡ（ｘ） ≺ μＢ（ｘ）⇔μＡ（ｘ）ΔμＢ（ｘ） ＝ μＡ（ｘ） ⇔μＡ（ｘ） ÑμＢ（ｘ） ＝ μＢ（ｘ） ｖＡ（ｘ） ≻ ｖＢ（ｘ）⇔ｖＡ（ｘ） ÑｖＢ（ｘ） ＝ ｖＡ（ｘ） ⇔ｖＡ（ｘ）ΔｖＢ（ｘ） ＝ ｖＢ（ｘ） 定义 ５ 中的的序关系具有如下性质。 定理 ２ 设 Ａ，Ｂ，Ｃ 是论域 Ｕ 上的 ３ 个二型直 觉模糊集，若 Ａ ⊆ Ｂ ，即 ∀ｘ ∈ Ｕ ， μＡ（ｘ） ≺ μＢ（ｘ） 且 ｖＡ（ｘ） ≻ ｖＢ（ｘ） 。 则有下式成立： μＡ（ｘ） ÑμＣ（ｘ） ≺ μＢ（ｘ） ÑμＣ（ｘ） ｖＡ（ｘ）ΔｖＣ（ｘ） ≻ ｖＢ（ｘ）ΔｖＣ（ｘ） μＡ（ｘ）ΔμＣ（ｘ） ≺ μＢ（ｘ）ΔμＣ（ｘ） ｖＡ（ｘ） ÑｖＣ（ｘ） ≻ ｖＢ（ｘ） ÑｖＣ（ｘ） 证明 由定义 ５ 可直接验证。 定理 ３ 设 Ｒ － 和 Ｒ＿ 是定义 ４ 中的上、下近似算 子， Ａ、Ｂ 是论域 Ｕ 上的 ２ 个二型直觉模糊集，则有 下列性质： １） Ｒ － （Ａ ｃ ） ＝ Ｒ＿ ｃ （Ａ） ， Ｒ＿ （Ａ ｃ ） ＝ Ｒ － ｃ （Ａ） ； ２） Ａ ⊆ Ｂ⇒Ｒ － （Ａ） ⊆ Ｒ － （Ｂ） ， Ｒ＿ （Ａ） ⊆ Ｒ＿ （Ｂ） ； ３ ） Ｒ１ ⊆ Ｒ２⇒ Ｒ１ （Ａ） ⊆ Ｒ２ （Ａ） ， Ｒ２ ＿ （Ａ） ⊆ Ｒ１ ＿ （Ａ） 。 证明 １）因为 第 ６ 期 王金英，等：二型直觉模糊粗糙集 ·９４５·