·944. 智能系统学报 第10卷 到了直觉模糊集[)以及区间直觉模糊集)，Zadeh 1)A∩B={〈x,uAnB(x),DAnB(x)）Ix∈U, 等将普通模糊集推广到二型模糊集[4。随着信息 其中 技术的发展，Pawlak于1982年提出了粗糙集[6的 anB(x)=(x)AB(x)= 概念，由于模糊集和粗糙集理论在处理不确定性和 [「f(u)Ah.(o)uAw 不精确性问题方面都推广了经典集合论，因此将2 ue程weg 个理论相融合，建立模糊粗糙集成为信息领域研究 vAnB(x)=v(x)Vvg(x)= 的主要方向之一。许多学者致力于这方面的研究， [∫g.()Ak.(p)mVp 分别给出了模糊粗糙集[)、直觉模糊粗糙集8]等 Jee生pe及 概念。目前，一型广义模糊粗糙集理论的发展已达 2)AUB={(x,uB(x),"AuB(x)）1x∈U}, 其中 到了一个相对完善的状态。近年来，人们开始着手 将模糊粗糙集理论进一步推广到二型模糊粗糙 HAUB(x)=(x)Vup(x)= 集[]，与此同时，二型模糊集的概念也被扩展到了 f(u)Ah,(w)/uV w ue程me共 二型直觉模糊集山。然而，关于二型直觉模糊集和 UAuB(x)=DA(x)△B(x)= 粗糙集理论相融合的研究目前尚未见到，基于此，本 「∫g()Nk,(P)mAP 文在二型模糊粗糙集理论的基础上，利用二型直觉 模糊集和二型直觉模糊关系，将文献[10]中给出的 3)A={(x,"(x),(x)〉|x∈U}。 二型模糊粗糙集模型进一步推广到二型直觉模糊粗 定理1【设A,B,C是论域U上的3个二型 糙集模型，同时还讨论了一些相关的性质。 直觉模糊集，则下列各式成立： 1)交换律，AUB=BUA,A∩B=B∩A: 1二型直觉模糊集的基本理论 2)结合律，AU(BUC)=(AUB)UC,An 定义1口二型直觉模糊集。设U为论域，称 (BnC)=(A∩B)∩C; A={(x,(x),D(x)）|x∈U}为U上的一个二型 3)幂等律，AUA=A,A∩A=A; 直觉模糊集。其中 4)对合律，(A)=A; 5)德摩根律，(AUB)=A∩B,(A∩B)= (x)=f(u)u,J∈[0,1] A°UB。 (x)=g(v)/m,J[0,1] 一般地，分配律和吸收律不成立。如果限定所 e 有二型直觉模糊集的主隶属度和主非隶属度均为标 且对Hx∈U满足 准的凸一型模糊集，那么，分配律和吸收律便成 max(f(u)×u)+max(g(v)×v)≤1 re 立[o u(x)表示x对A的隶属程度，，(x)表示x对 定义3山二型直觉模糊关系。设U和W是 A的非隶属程度。 有限非空论域，定义在直积空间U×W上的二型直 为叙述方便，将(x)和(x)分别称为二型 觉模糊子集称为从U到W的二型直觉模糊关系。 直觉模糊集的主隶属度和主非隶属度。 记为 定义2】二型直觉模糊集的基本运算。设 R={〈(x,y),(x,y),D(x,y)〉1x∈U,y∈W A、B是论域U上的2个二型直觉模糊集，令 其中 A={(x,u(x),D(x)〉1x∈U明 uR(x,y）= f,w(u)/u,Jn[0,1] B={〈x,u(x),DB(x)〉Ix∈U 其中 g(x,y）=g.(u)m,J∈[0,1] eJx) u(x)=」f(u)/u,Jc[0,1] 且对H(x,y)∈U×W,满足 ()=8(/a.上e[0,1 max(f,m(u)×u)+max(g(,(u)×v）≤1 ueR.y) c) 特别地，当U=W时，二型直觉模糊关系R称为 g(x)=h.(w)/o,Jc[0,1] U×U上的二型直觉模糊关系。 (x)=k.(p)/p,J≤[0,1] 2 二型直觉模糊粗糙集及其性质 pe 定义运算如下： 定义4设R是U×U上的二型直觉模糊关到了直觉模糊集［２］ 以及区间直觉模糊集［３］ ，Ｚａｄｅｈ 等将普通模糊集推广到二型模糊集［４⁃５］ 。 随着信息 技术的发展，Ｐａｗｌａｋ 于 １９８２ 年提出了粗糙集［６］ 的 概念，由于模糊集和粗糙集理论在处理不确定性和 不精确性问题方面都推广了经典集合论，因此将 ２ 个理论相融合，建立模糊粗糙集成为信息领域研究 的主要方向之一。 许多学者致力于这方面的研究， 分别给出了模糊粗糙集［７］ 、直觉模糊粗糙集［８⁃９］ 等 概念。 目前，一型广义模糊粗糙集理论的发展已达 到了一个相对完善的状态。 近年来，人们开始着手 将模糊粗糙集理论进一步推广到二型模糊粗糙 集［１０］ ，与此同时，二型模糊集的概念也被扩展到了 二型直觉模糊集［１１］ 。 然而，关于二型直觉模糊集和 粗糙集理论相融合的研究目前尚未见到，基于此，本 文在二型模糊粗糙集理论的基础上，利用二型直觉 模糊集和二型直觉模糊关系，将文献［１０］中给出的 二型模糊粗糙集模型进一步推广到二型直觉模糊粗 糙集模型，同时还讨论了一些相关的性质。 １ 二型直觉模糊集的基本理论 定义 １ ［１１］ 二型直觉模糊集。 设 Ｕ 为论域，称 Ａ ＝ ｛〈ｘ，μＡ（ｘ），ｖＡ（ｘ）〉 ｜ ｘ ∈ Ｕ｝ 为 Ｕ 上的一个二型 直觉模糊集。 其中 μＡ（ｘ） ＝ ∫ ｕ∈Ｊ ｕ ｘ ｆ ｘ（ｕ） ／ ｕ，Ｊ ｕ ｘ ⊆ ［０，１］ ｖＡ（ｘ） ＝ ∫ ｖ∈Ｊ ｖ ｘ ｇｘ（ｖ） ／ ｖ，Ｊ ｖ ｘ ⊆ ［０，１］ 且对 ∀ｘ ∈ Ｕ 满足 ｍａｘ ｕ∈Ｊ ｕ ｘ （ｆ ｘ（ｕ） × ｕ） ＋ ｍａｘ ｖ∈Ｊ ｖ ｘ （ｇｘ（ｖ） × ｖ） ≤ １ μＡ（ｘ） 表示 ｘ 对 Ａ 的隶属程度， ｖＡ（ｘ） 表示 ｘ 对 Ａ 的非隶属程度。 为叙述方便，将 μＡ（ｘ） 和 ｖＡ（ｘ） 分别称为二型 直觉模糊集的主隶属度和主非隶属度。 定义 ２ ［１１］ 二型直觉模糊集的基本运算。 设 Ａ、Ｂ 是论域 Ｕ 上的 ２ 个二型直觉模糊集，令 Ａ ＝ ｛〈ｘ，μＡ（ｘ），ｖＡ（ｘ）〉 ｜ ｘ ∈ Ｕ｝ Ｂ ＝ ｛〈ｘ，μＢ（ｘ），ｖＢ（ｘ）〉 ｜ ｘ ∈ Ｕ｝ 其中 μＡ（ｘ） ＝ ∫ ｕ∈Ｊ ｕ ｘ ｆ ｘ（ｕ） ／ ｕ，Ｊ ｕ ｘ ⊆ ［０，１］ ｖＡ（ｘ） ＝ ∫ ｖ∈Ｊ ｖ ｘ ｇｘ（ｖ） ／ ｖ，Ｊ ｖ ｘ ⊆ ［０，１］ μＢ（ｘ） ＝ ∫ ｗ∈Ｊｗ ｘ ｈｘ（ｗ） ／ ｗ，Ｊ ｗ ｘ ⊆ ［０，１］ ｖＢ（ｘ） ＝ ∫ ｐ∈Ｊ ｐ ｘ ｋｘ（ｐ） ／ ｐ，Ｊ ｐ ｘ ⊆ ［０，１］ 定义运算如下： １） Ａ ∩ Ｂ ＝ ｛〈ｘ，μＡ∩Ｂ（ｘ），ｖＡ∩Ｂ（ｘ）〉 ｜ ｘ ∈ Ｕ｝ ， 其中 μＡ∩Ｂ（ｘ） ＝ μＡ（ｘ）ΔμＢ（ｘ） ＝ ∫ ｕ∈Ｊ ｕ ｘ ∫ ｗ∈Ｊｗ ｘ ｆ ｘ（ｕ） ∧ ｈｘ（ｗ） ／ ｕ ∧ ｗ ｖＡ∩Ｂ（ｘ） ＝ ｖＡ（ｘ） ÑｖＢ（ｘ） ＝ ∫ ｖ∈Ｊ ｖ ｘ ∫ ｐ∈Ｊ ｐ ｘ ｇｘ（ｖ） ∧ ｋｘ（ｐ） ／ ｖ ∨ ｐ ２） Ａ ∪ Ｂ ＝ ｛〈ｘ，μＡ∪Ｂ（ｘ），ｖＡ∪Ｂ（ｘ）〉 ｜ ｘ ∈ Ｕ｝ ， 其中 μＡ∪Ｂ（ｘ） ＝ μＡ（ｘ） ÑμＢ（ｘ） ＝ ∫ ｕ∈Ｊ ｕ ｘ ∫ ｗ∈Ｊｗ ｘ ｆ ｘ（ｕ） ∧ ｈｘ（ｗ） ／ ｕ ∨ ｗ ｖＡ∪Ｂ（ｘ） ＝ ｖＡ（ｘ）ΔｖＢ（ｘ） ＝ ∫ ｖ∈Ｊ ｖ ｘ ∫ ｐ∈Ｊ ｐ ｘ ｇｘ（ｖ） ∧ ｋｘ（ｐ） ／ ｖ ∧ ｐ ３） Ａ ｃ ＝ ｛〈ｘ，ｖＡ（ｘ），μＡ（ｘ）〉 ｜ ｘ ∈ Ｕ｝。 定理 １ ［１１］ 设 Ａ，Ｂ，Ｃ 是论域 Ｕ 上的 ３ 个二型 直觉模糊集，则下列各式成立： １）交换律， Ａ ∪ Ｂ ＝ Ｂ ∪ Ａ ， Ａ ∩ Ｂ ＝ Ｂ ∩ Ａ ； ２）结合律， Ａ ∪ （Ｂ ∪ Ｃ） ＝ （Ａ ∪ Ｂ） ∪ Ｃ ， Ａ ∩ （Ｂ ∩ Ｃ） ＝ （Ａ ∩ Ｂ） ∩ Ｃ ； ３）幂等律， Ａ ∪ Ａ ＝ Ａ ， Ａ ∩ Ａ ＝ Ａ ； ４）对合律， （Ａ ｃ ） ｃ ＝ Ａ ； ５）德摩根律， （Ａ ∪ Ｂ） ｃ ＝ Ａ ｃ ∩Ｂ ｃ ， （Ａ ∩ Ｂ） ｃ ＝ Ａ ｃ ∪ Ｂ ｃ 。 一般地，分配律和吸收律不成立。 如果限定所 有二型直觉模糊集的主隶属度和主非隶属度均为标 准的凸一型模糊集， 那么， 分配律和吸收律便成 立［１０］ 。 定义 ３ ［１１］ 二型直觉模糊关系。 设 Ｕ 和 Ｗ 是 有限非空论域，定义在直积空间 Ｕ × Ｗ 上的二型直 觉模糊子集称为从 Ｕ 到 Ｗ 的二型直觉模糊关系。 记为 Ｒ ＝ ｛〈（ｘ，ｙ），μＲ（ｘ，ｙ），ｖＲ（ｘ，ｙ）〉 ｜ ｘ ∈ Ｕ，ｙ ∈ Ｗ｝ 其中 μＲ（ｘ，ｙ） ＝ ∫ ｕ∈Ｊ ｕ （ｘ，ｙ） ｆ （ｘ，ｙ）（ｕ） ／ ｕ，Ｊ ｕ （ｘ，ｙ） ⊆ ［０，１］ ｖＲ（ｘ，ｙ） ＝ ∫ ｖ∈Ｊ ｖ （ｘ，ｙ） ｇ（ｘ，ｙ）（ｖ） ／ ｖ，Ｊ ｖ （ｘ，ｙ） ⊆ ［０，１］ 且对 ∀（ｘ，ｙ） ∈ Ｕ × Ｗ ，满足 ｍａｘ ｕ∈Ｊ ｕ （ｘ，ｙ） （ｆ （ｘ，ｙ）（ｕ） × ｕ） ＋ ｍａｘ ｖ∈Ｊ ｖ （ｘ，ｙ） （ｇ（ｘ，ｙ）（ｖ） × ｖ） ≤ １ 特别地，当 Ｕ ＝ Ｗ 时，二型直觉模糊关系 Ｒ 称为 Ｕ × Ｕ 上的二型直觉模糊关系。 ２ 二型直觉模糊粗糙集及其性质 定义 ４ 设 Ｒ 是 Ｕ × Ｕ 上的二型直觉模糊关 ·９４４· 智 能 系 统 学 报 第 １０ 卷