再证1)与3)等价 设6，.，5n是一组标准正交基，即 -6 如果1)成立，则 (d) 即3)成立反之，若A8,·,AE是标准正交基，那么由 a=X6+x362+.+xn6n,B=6+62+.+y5n Aa=xA6+x2AE2+.+XgAEn,AB=乃A5,+2A62+.+y.AEg 即得 (a,B)=xx++x=(Aa,AB), 因而A是正交变换. 最后证3)与4)等价 设A在标准正交基,.,6下的矩阵为A.即 （A,.,AE)=(6,6n)A 若A6,AE为标准正交基，则由A是无，.，￡到A6,AE的过渡矩阵，因而是正交矩阵，反 之，若A是正交矩阵，则，就是标准正交基 由定义易知，正交变换的逆变换还是还是正交变换，正交变换的乘积还是正交变换再由线性变 换与其在某组指定基下的矩阵的对应关系及定理4可知，正交矩阵的逆矩阵及两个正交矩阵的乘积是 正交矩阵 现在我们来研究正交矩阵的行列式的特点设A为正交矩阵，则A=E,于是A=1,即 A=士1A=1时对应的正交变换通常是旋转，或称为第一类的：时4=-1对应的正交变换称为第 二类的. 作业：P396,习题15。 预习：前四节的基本概念与主要定理 §1一§4习题课 再证 1）与 3）等价. 设 1 , , n   是一组标准正交基，即 1, , ( , ) 0 . i j i j i j    = =    如果 1）成立，则 1, , ( , ) 0 . i j i j A A i j    = =    即 3）成立.反之，若 1 , , A A n   是标准正交基，那么由 1 1 2 2 1 1 2 2 , n n n n         = + + + = + + + x x x y y y 与 1 1 2 2 1 1 2 2 , A x A x A x A A y A y A y A         = + + + = + + + n n n n 即得 1 1 2 2 ( , ) ( , ), n n     = + + + = x y x y x y A A 因而 A 是正交变换. 最后证 3）与 4）等价. 设 A 在标准正交基 1 , , n   下的矩阵为 A .即 1 1 ( , , ) ( , , ) . A A A n n     = 若 1 , , A A n   为标准正交基，则由 A 是 1 , , n   到 1 , , A A n   的过渡矩阵，因而是正交矩阵，反 之，若 A 是正交矩阵，则 1 , , A A n   就是标准正交基. 由定义易知，正交变换的逆变换还是还是正交变换，正交变换的乘积还是正交变换.再由线性变 换与其在某组指定基下的矩阵的对应关系及定理 4 可知，正交矩阵的逆矩阵及两个正交矩阵的乘积是 正交矩阵. 现在我们来研究正交矩阵的行列式的特点.设 A 为正交矩阵.则 AA E  = ，于是 2 A =1 ，即 A A =  = 1. 1 时.对应的正交变换通常是旋转，或称为第一类的；时 A =−1.对应的正交变换称为第 二类的. 作业: P396,习题 15。. 预习: 前四节的基本概念与主要定理. §1—§4 习题课