知。也适合3)故V'与V同构，从而同构具有对称性类似可证同构具有仁递性由此及每个维欧 氏空间均与”同构可知，任意两个维欧氏空间都同构.综上所述，有 定理3两个有限维欧氏空间同构的充要条件是它们的维数相同 作业 预习：下一节的基本概念 §4正交变换 教学目标掌握正交变换的定义，欧氏空间V的线性变换是正交变换的充要条件。 教学重点：欧氏空间V的线性变换是正交变换的充要条件。 教学方法：讲授法 教学过程 定义9设A为做氏空间V的线性变换，若对Va,B∈V有 (Aa.AB)=(a.B) 则称A为正交变换 定理4设A是欧氏空间V的线性变换，则下述命题等价： 1)A是正交变换： 2)对a∈'，Aa=la 3)6,.,6n是标准正交基，则A6,.,AEn也是标准正交基： 先证1)与2)等价 若1)成立，则(4a,Aa)=(a,a).开方即得AC=a,故2)成立，反之，若2)成立则 (Aa,Aa)=(a,a),(AB.AB)=(B.B).(A(a+B).A(a+B))=(a+B.a+B). 将最后一个等式展开得 (Aa.Aa)+2(Aa,AB)+(AB.AB)=(a,a)+2(a.B)+(B.B) 再利用前两个等式即得(AB,AB)=(,B).这就推出1)成立.知 1  − 也适合 3）.故 V 与 V 同构，从而同构具有对称性.类似可证同构具有仁递性.由此及每个 n 维欧 氏空间均与 n R 同构可知，任意两个 n 维欧氏空间都同构.综上所述，有 定理 3 两个有限维欧氏空间同构的充要条件是它们的维数相同. 作业: 预习: 下一节的基本概念. §4 正交变换 教学目标: 掌握正交变换的定义, 欧氏空间 V 的线性变换是正交变换的充要条件。 教学重点: 欧氏空间 V 的线性变换是正交变换的充要条件。 教学方法: 讲授法. 教学过程: 定义 9 设 A 为欧氏空间 V 的线性变换，若对    , V 有 ( , ) ( , ) A A     = 则称 A 为正交变换. 定理 4 设 A 是欧氏空间 V 的线性变换，则下述命题等价： 1） A 是正交变换； 2）对   =    V A, ; 3） 1 , , n   是标准正交基，则 1 , , A A n   也是标准正交基； 4） A 在任一组标准正交基下的矩阵都是正交矩阵. 证明 先证 1）与 2）等价. 若 1）成立，则 ( , ) ( , ) A A     = .开方即得 A  = , 故 2）成立，反之，若 2）成立.则 ( , ) ( , ),( , ) ( , ),( ( ), ( )) ( , ). A A A A A A                 = = + + = + + 将最后一个等式展开得 ( , ) 2( , ) ( , ) ( , ) 2( , ) ( , ) A A A A A A             + + = + + 再利用前两个等式即得 ( , ) ( , ). A A     = 这就推出 1）成立