设v=-g(t--),c为常数,函数g二阶可导, a-v avav 1 a 证明 Ox ay a c at 4.若函数f(x,y,z)对任意正实数t满足关系 f(tx,y,)=t"f(x,y,=), 则称f(x,y,=)为n次齐次函数设∫(x,y,)可微,试证明f(x,y,)为n次齐次函数的充要 条件是 c+,y+9 ax·oz x,y, 5.验证下列各式 (1)l=q ),则 (2)u=y(x-y2),则a (3)=xo(x+y)+y(x+y),则0u-242n (2),则 6.设u=f(x,y)可微,在极坐标变换x= rose,y=rsin0 02,C、2,O、2.O 这时称()2+(-)2是一个形式不变量 8.设函数a=f(x,y)满足拉普拉斯方程 a2u a2 au a1 证明在下列变换下形状保持不变,即仍有3．设 1 ( ) r v g t r c = − ， c 为常数，函数 g 二阶可导， 2 2 2 r x y z = + + 。 证明 2 2 2 2 2 2 2 2 2 v v v v 1 x y z c t     + + =     . 4．若函数 f x y z ( , , ) 对任意正实数 t 满足关系 ( , , ) ( , , ) n f tx ty tz t f x y z = ， 则称 f x y z ( , , ) 为 n 次齐次函数.设 f x y z ( , , ) 可微，试证明 f x y z ( , , ) 为 n 次齐次函数的充要 条件是 ( , , ) f f f x y z nf x y z x y z    + + =    . 5．验证下列各式： (1) 2 2 u x y = + ( ) ,则 0 u u y x x y   − =   ； (2) 2 2 u y x y = − ( ),则 u u xu y x x y y   + =   ； (3) u x x y y x y = + + +   ( ) ( ) ,则 2 2 2 2 2 2 0 u u u x x y y    − + =     ； (4) ( ) ( ) y y u x x x = +   ,则 2 2 2 2 2 2 2 2 0 u u u x xy y x x y y    + + =     . 6．设 u f x y = ( , ) 可微，在极坐标变换 x r = cos ， y r = sin 下，证明 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) z z z z x y u v     + = +     . 这时称 2 2 ( ) ( ) z z x y   +   是一个形式不变量. 8．设函数 u f x y = ( , ) 满足拉普拉斯方程 2 2 2 2 0 u u x y   + =   ， 证明在下列变换下形状保持不变，即仍有 2 2 2 2 0 u u s t   + =  