《现代控制理论基础》第五章(讲义) 5.2.1平衡状态、给定运动与扰动方程之原点 考虑如下非线性系统 x=f(x, 式中x为n维状态向量,f(x,1)是变量x,,…,和t的n维向量函数。假设在 给定的初始条件下,式(5.1)有唯一解Φ(x0,10)。当t=t时,x=x0。于是 d(o xo, to)=xo 在式(5.1)的系统中,总存在 f(x2,1)=0,对所有 则称x为系统的平衡状态或平衡点。如果系统是线性定常的,也就是说 f(x,1)=Ax,则当A为非奇异矩阵时,系统存在一个唯一的平衡状态;当A为奇 异矩阵时,系统将存在无穷多个平衡状态。对于非线性系统,可有一个或多个平 衡状态,这些状态对应于系统的常值解(对所有t,总存在x=x.)。平衡状态 的确定不包括式(5.1)的系统微分方程的解,只涉及式(5.2)的解。 任意一个孤立的平衡状态(即彼此孤立的平衡状态)或给定运动x=g()都 可通过坐标变换,统一化为扰动方程x=f(x,)之坐标原点,即f(0,1)=0或 x=0。在本章中,除非特别申明,我们将仅讨论扰动方程关于原点(x。=0)处 之平衡状态的稳定性问题。这种“原点稳定性问题”由于使问题得到极大简化, 而不会丧失一般性,从而为稳定性理论的建立奠定了坚实的基础,这是 Lyapunov 的一个重要贡献。 5.2.2 Lyapunov意义下的稳定性定义 下面首先给出 Lyapunov意义下的稳定性定义,然后回顾某些必要的数学基 础,以便在下一小节具体给出 Lyapunov稳定性定理。 定义5.1( Lyapunov意义下的稳定)设系统 x=f(x,1),f(x2,1)=0 之平衡状态x=0的H邻域为 x.≤H 其中,H>0,‖·‖为向量的2范数或欧几里德范数,即 |x-x|=(x1-x12)2+(x2-x2)2+…+(xn-xm)2y2 类似地,也可以相应定义球域S(ε)和S(o)。 在H邻域内,若对于任意给定的0<E<H,均有 (1)如果对应于每一个S(ε),存在一个S(δ),使得当t趋于无穷时,始 于S(ω)的轨迹不脱离S(E),则式(5.1)系统之平衡状态x。=0称为在 Lyapunov 2《现代控制理论基础》第五章(讲义) 2 5.2.1 平衡状态、给定运动与扰动方程之原点 考虑如下非线性系统 x  = f (x,t) (5.1) 式中 x 为 n 维状态向量， f (x,t) 是变量 x1,x2,…,xn和 t 的 n 维向量函数。假设在 给定的初始条件下，式(5.1）有唯一解 ( ; , ) 0 0  t x t 。当 t =to时， 0 x = x 。于是 0 0 0 0 (t ; x ,t ) = x 在式(5.1）的系统中，总存在 f (xe ,t)  0 , 对所有 t (5.2) 则称 e x 为系统的平衡状态或平衡点。如果系统是线性定常的，也就是说 f (x,t) = Ax ，则当 A 为非奇异矩阵时，系统存在一个唯一的平衡状态；当 A 为奇 异矩阵时，系统将存在无穷多个平衡状态。对于非线性系统，可有一个或多个平 衡状态，这些状态对应于系统的常值解（对所有 t，总存在 e x = x ）。平衡状态 的确定不包括式(5.1）的系统微分方程的解，只涉及式(5.2）的解。 任意一个孤立的平衡状态（即彼此孤立的平衡状态）或给定运动 x = g(t) 都 可通过坐标变换，统一化为扰动方程 , ) ~( ~ ~ x = f x t  之坐标原点，即 f (0,t) = 0 或 xe = 0 。在本章中，除非特别申明，我们将仅讨论扰动方程关于原点( xe = 0 )处 之平衡状态的稳定性问题。这种“原点稳定性问题”由于使问题得到极大简化， 而不会丧失一般性，从而为稳定性理论的建立奠定了坚实的基础，这是 Lyapunov 的一个重要贡献。 5.2.2 Lyapunov 意义下的稳定性定义 下面首先给出 Lyapunov 意义下的稳定性定义，然后回顾某些必要的数学基 础，以便在下一小节具体给出 Lyapunov 稳定性定理。 定义 5.1 (Lyapunov 意义下的稳定) 设系统 x  = f (x,t) ， f (xe ,t)  0 之平衡状态 xe = 0 的 H 邻域为 x − xe  H 其中， H  0，  为向量的 2 范数或欧几里德范数，即 2 2 1/ 2 2 2 2 1 1 [( ) ( ) ( ) ] e e e n ne x − x = x − x + x − x ++ x − x 类似地，也可以相应定义球域 S(）和 S(）。 在 H 邻域内，若对于任意给定的 0    H ，均有 (1) 如果对应于每一个 S(），存在一个 S(），使得当 t 趋于无穷时，始 于 S()的轨迹不脱离 S(），则式(5.1）系统之平衡状态 xe = 0 称为在 Lyapunov