《现代控制理论基础》第五章(讲义) 意义下是稳定的。一般地,实数6与有关,通常也与t有关。如果δ与t无关, 则此时平衡状态x。=0称为一致稳定的平衡状态 以上定义意味着:首先选择一个域S(ε),对应于每一个S(ε),必存在 个域S(δ),使得当t趋于无穷时,始于S(δ)的轨迹总不脱离域S(ε) (2)如果平衡状态x=0,在 Lyapunov意义下是稳定的,并且始于域S(δ 的任一条轨迹,当时间t趋于无穷时,都不脱离S(ε),且收敛于x,=0,则称 式(5.1)系统之平衡状态x=0为渐近稳定的,其中球域S(δ)被称为平衡状态 x=0的吸引域 实际上,渐近稳定性比纯稳定性更重要。考虑到非线性系统的渐近稳定性是 一个局部概念,所以简单地确定渐近稳定性并不意味着系统能正常工作。通常有 必要确定渐近稳定性的最大范围或吸引域。它是发生渐近稳定轨迹的那部分状态 空间。换句话说,发生于吸引域内的每一个轨迹都是渐近稳定的。 (3)对所有的状态(状态空间中的所有点),如果由这些状态出发的轨迹都 保持渐近稳定性,则平衡状态x。=0称为大范围渐近稳定。或者说,如果式(5.1) 系统之平衡状态x=0渐近稳定的吸引域为整个状态空间,则称此时系统的平衡 状态x。=0为大范围渐近稳定的。显然,大范围渐近稳定的必要条件是在整个状 态空间中只有一个平衡状态 在控制工程问题中,总希望系统具有大范围渐近稳定的特性。如果平衡状态 不是大范围渐近稳定的,那么问题就转化为确定渐近稳定的最大范围或吸引域, 这通常非常困难。然而,对所有的实际问题,如能确定一个足够大的渐近稳定的 吸引域,以致扰动不会超过它就可以了。 (4)如果对于某个实数0和任一个实数δ>0,不管这两个实数多么小,在 S(δ)内总存在一个状态x,使得始于这一状态的轨迹最终会脱离开S(ε),那 么平衡状态x2=0称为不稳定的。 图5.1(a)、(b)和(c)分别表示平衡状态及对应于稳定性、渐近稳定性和 不稳定性的典型轨迹。在图5.1(a)、(b)和(c)中,域S(δ)制约着初始状态x。, 而域S(ε)是起始于xo的轨迹的边界 注意,由于上述定义不能详细地说明可容许初始条件的精确吸引域,因而除 非S(E)对应于整个状态平面,否则这些定义只能应用于平衡状态的邻域 此外,在图5.l(c)中,轨迹离开了S(ε),这说明平衡状态是不稳定的 然而却不能说明轨迹将趋于无穷远处,这是因为轨迹还可能趋于在S(E)外的某 个极限环(如果线性定常系统是不稳定的,则在不稳定平衡状态附近出发的轨迹 将趋于无穷远。但在非线性系统中,这一结论并不一定正确)。《现代控制理论基础》第五章(讲义) 3 意义下是稳定的。一般地，实数与有关，通常也与 t0有关。如果 与 t0无关， 则此时平衡状态 xe = 0 称为一致稳定的平衡状态。 以上定义意味着：首先选择一个域 S(），对应于每一个 S(），必存在一 个域 S(），使得当 t 趋于无穷时，始于 S(）的轨迹总不脱离域 S(）。 (2) 如果平衡状态 xe = 0 ，在 Lyapunov 意义下是稳定的，并且始于域 S(） 的任一条轨迹，当时间 t 趋于无穷时，都不脱离 S(），且收敛于 xe = 0 ，则称 式(5.1）系统之平衡状态 xe = 0 为渐近稳定的，其中球域 S(）被称为平衡状态 xe = 0 的吸引域。 实际上，渐近稳定性比纯稳定性更重要。考虑到非线性系统的渐近稳定性是 一个局部概念，所以简单地确定渐近稳定性并不意味着系统能正常工作。通常有 必要确定渐近稳定性的最大范围或吸引域。它是发生渐近稳定轨迹的那部分状态 空间。换句话说，发生于吸引域内的每一个轨迹都是渐近稳定的。 (3) 对所有的状态（状态空间中的所有点），如果由这些状态出发的轨迹都 保持渐近稳定性，则平衡状态 xe = 0 称为大范围渐近稳定。或者说，如果式(5.1） 系统之平衡状态 xe = 0 渐近稳定的吸引域为整个状态空间，则称此时系统的平衡 状态 xe = 0 为大范围渐近稳定的。显然，大范围渐近稳定的必要条件是在整个状 态空间中只有一个平衡状态。 在控制工程问题中，总希望系统具有大范围渐近稳定的特性。如果平衡状态 不是大范围渐近稳定的，那么问题就转化为确定渐近稳定的最大范围或吸引域， 这通常非常困难。然而，对所有的实际问题，如能确定一个足够大的渐近稳定的 吸引域，以致扰动不会超过它就可以了。 (4) 如果对于某个实数>0 和任一个实数 >0，不管这两个实数多么小，在 S（）内总存在一个状态 0 x ，使得始于这一状态的轨迹最终会脱离开 S(），那 么平衡状态 xe = 0 称为不稳定的。 图 5.1（a）、(b)和(c)分别表示平衡状态及对应于稳定性、渐近稳定性和 不稳定性的典型轨迹。在图 5.1(a)、(b)和(c)中，域 S（）制约着初始状态 0 x ， 而域 S(）是起始于 0 x 的轨迹的边界。 注意，由于上述定义不能详细地说明可容许初始条件的精确吸引域，因而除 非 S(）对应于整个状态平面，否则这些定义只能应用于平衡状态的邻域。 此外，在图 5.1（c）中，轨迹离开了 S(），这说明平衡状态是不稳定的。 然而却不能说明轨迹将趋于无穷远处，这是因为轨迹还可能趋于在 S(）外的某 个极限环（如果线性定常系统是不稳定的，则在不稳定平衡状态附近出发的轨迹 将趋于无穷远。但在非线性系统中，这一结论并不一定正确）