《现代控制理论基础》第五章(讲义) S(e S() 图5.1(a)稳定平衡状态及一条典型轨迹 (b)渐近稳定平衡状态及一条典型轨迹 (c)不稳定平衡状态及一条典型轨迹 上述各定义的内容,对于理解本章介绍的线性和非线性系统的稳定性分析 是最低限度的要求。注意,这些定义不是确定平衡状态稳定性概念的唯一方法。 实际上,在其他文献中还有另外的定义。 对于线性系统,渐近稳定等价于大范围渐近稳定。但对于非线性系统,一般 只考虑吸引区为有限的定范围的渐近稳定 最后指出,在经典控制理论中,我们已经学过稳定性概念,它与 Lyapunov 意义下的稳定性概念是有一定的区别的,例如,在经典控制理论中只有渐近稳定 的系统才称为稳定的系统。在 Lyapunov意义下是稳定的,但却不是渐近稳定的 系统,则叫做不稳定系统。两者的区别与联系如下表所示。 经典控制理论(线性系统)不稳定(Re(s)>0)临界情况(Re(s)=0)稳定(Re(s)<0) Lyapunov意义下 不稳定 稳定 渐近稳定 5.2.3预备知识 1、纯量函数的正定性 如果对所有在域Ω中的非零状态x≠0,有V(x)>0,且在x=0处有v(0)=0 则在域Ω(域Ω包含状态空间的原点)内的纯量函数(x)称为正定函数 如果时变函数(x,1)由一个定常的正定函数作为下限,即存在一个正定函数 V(x),使得 丿(x,1)>(x),对所有t≥10 (0,t)=0 对所有t≥t0 则称时变函数(x,1)在域Ω(9包含状态空间原点)内是正定的《现代控制理论基础》第五章(讲义) 4 图 5.1 （a）稳定平衡状态及一条典型轨迹 （b）渐近稳定平衡状态及一条典型轨迹 （c）不稳定平衡状态及一条典型轨迹 上述各定义的内容，对于理解本章介绍的线性和非线性系统的稳定性分析， 是最低限度的要求。注意，这些定义不是确定平衡状态稳定性概念的唯一方法。 实际上，在其他文献中还有另外的定义。 对于线性系统，渐近稳定等价于大范围渐近稳定。但对于非线性系统，一般 只考虑吸引区为有限的定范围的渐近稳定。 最后指出，在经典控制理论中，我们已经学过稳定性概念，它与 Lyapunov 意义下的稳定性概念是有一定的区别的，例如，在经典控制理论中只有渐近稳定 的系统才称为稳定的系统。在 Lyapunov 意义下是稳定的，但却不是渐近稳定的 系统，则叫做不稳定系统。两者的区别与联系如下表所示。 经典控制理论(线性系统） 不稳定 (Re(s)>0) 临界情况 (Re(s)=0) 稳定 (Re(s)<0) Lyapunov 意义下 不稳定 稳定 渐近稳定 5.2.3 预备知识 1、纯量函数的正定性 如果对所有在域中的非零状态 x  0 ，有 V (x)  0 ，且在 x = 0 处有 V (0) =0， 则在域（域包含状态空间的原点）内的纯量函数 V (x) 称为正定函数。 如果时变函数 V(x,t) 由一个定常的正定函数作为下限，即存在一个正定函数 V (x) ，使得 V(x,t)  V(x) , 对所有 0 t  t V (0,t) = 0 , 对所有 0 t  t 则称时变函数 V(x,t) 在域（包含状态空间原点）内是正定的