《现代控制理论基础》第五章(讲义) 2、纯量函数的负定性 如果-(x)是正定函数,则纯量函数r(x)称为负定函数。 3、纯量函数的正半定形 如果纯量函数(x)除了原点以及某些状态等于零外,在域Ω内的所有状态都 是正定的,则(x)称为正半定纯量函数。 4、纯量函数的负半定性 如果-(x)是正半定函数,则纯量函数(x)称为负半定函数。 5、纯量函数的不定性 如果在域Ω内,不论域Ω多么小,V(x)既可为正值,也可为负值时,纯量函 数(x)称为不定的纯量函数。 [例5.1]本例给出按照以上分类的几种纯量函数。假设x为二维向量 1、(x)=x2+2x2 正定的 2、(x)=(x1+x2)2 正半定的 3、(x)=-x2-(3x1+2x2)2负定的 4、 不定的 J(x)=x2+ 正定的 6、二次型 建立在 Lyapunov第二法基础上的稳定性分析中,有一类纯量函数起着很重 要的作用,即二次型函数。例如, V (x)=xPx=[, x2 P21P2 p2n ll x2 Pin p Panax, 注意,这里的x为实向量,P为实对称矩称 7、复二次型或 Hermite型 如果x是n维复向量,P为 Hermite矩阵,则该复二次型函数称为 Hermite 型函数。例如 P11P12 D (x)=x Px=[x, x P2n‖1x Pin p《现代控制理论基础》第五章(讲义) 5 2、纯量函数的负定性 如果 -V (x) 是正定函数，则纯量函数 V (x) 称为负定函数。 3、纯量函数的正半定形 如果纯量函数 V (x) 除了原点以及某些状态等于零外，在域内的所有状态都 是正定的，则 V (x) 称为正半定纯量函数。 4、纯量函数的负半定性 如果 -V (x) 是正半定函数，则纯量函数 V (x) 称为负半定函数。 5、纯量函数的不定性 如果在域内，不论域多么小， V (x) 既可为正值，也可为负值时，纯量函 数 V (x) 称为不定的纯量函数。 ------------------------------------------------------------------ [例 5.1] 本例给出按照以上分类的几种纯量函数。假设 x 为二维向量。 1、 2 2 2 V(x) = x1 + 2x 正定的 2、 2 1 2 V(x) = (x + x ) 正半定的 3、 2 1 2 2 1 V(x) = −x − (3x + 2x ) 负定的 4、 2 1 2 2 V（x) = x x + x 不定的 5、 正定的 ------------------------------------------------------------------ 6、二次型 建立在 Lyapunov 第二法基础上的稳定性分析中，有一类纯量函数起着很重 要的作用，即二次型函数。例如， 注意，这里的 x 为实向量，P 为实对称矩称。 7、复二次型或 Hermite 型 如果 x 是 n 维复向量，P 为 Hermite 矩阵，则该复二次型函数称为 Hermite 型函数。例如 2 2 2 2 2 1 1 2 x x V x x + （ ）= +                         = = n n n n n n n n T x x x p p p p p p p p p V x x Px x x x         2 1 1 2 21 22 2 11 12 1 1 2 （ ） [ ]                         = = n n n n n n n n H x x x p p p p p p p p p V x x Px x x x         2 1 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 1 2 （ ） [ ]