《现代控制理论基础》第五章(讲义) 在状态空间的稳定性分析中,经常使用 Hermite型,而不使用二次型,这是 因为 Hermite型比二次型更具一般性(对于实向量x和实对称矩阵P, Hermite 型x"Px等于二次型xPx) 二次型或者 Hermite型(x)的正定性可用赛尔维斯特准则判断。该准则指 出,二次型或 Hermite型v(x)为正定的充要条件是矩阵P的所有主子行列式均 为正值,即 P1P12 n1>0,/ P2I p pI P 注意,p是P2的复共轭。对于一次型,p=P 如果P是奇异矩阵,且它的所有主子行列式均非负,则V(x)=xPx是正半 定的 如果-V(x)是正定的,则v(x)是负定的。同样,如果-(x)是正半定的, 则v(x)是负半定的。 [例5.2]试证明下列二次型是正定的。 (x)=10x1+4x2+x3+2x1x2-2x2x3-4x1x 二次型V(x)可写为 10 V(x)=x Px=x, x, xI x3 利用赛尔维斯特准则,可得 101-2 101 10>0, 因为矩阵P的所有主子行列式均为正值,所以(x)是正定的 53 Lyapunov稳定性理论 1892年,A.M. Lyapunovνv提出了两种方法(称为第一法和第二法),用于确 定由常微分方程描述的动力学系统的稳定性 第一法包括了利用微分方程显式解进行系统分析的所有步骤。《现代控制理论基础》第五章(讲义) 6 在状态空间的稳定性分析中，经常使用 Hermite 型，而不使用二次型，这是 因为 Hermite 型比二次型更具一般性（对于实向量 x 和实对称矩阵 P，Hermite 型 x Px H 等于二次型 x Px T ）。 二次型或者 Hermite 型 V (x) 的正定性可用赛尔维斯特准则判断。该准则指 出，二次型或 Hermite 型 V (x) 为正定的充要条件是矩阵 P 的所有主子行列式均 为正值，即 注意， ij p 是 ij p 的复共轭。对于二次型， pij = pij 。 如果 P 是奇异矩阵，且它的所有主子行列式均非负，则 V x x Px H ( ) = 是正半 定的。 如果 -V (x) 是正定的，则 V (x) 是负定的。同样，如果 -V (x) 是正半定的， 则 V (x) 是负半定的。 ------------------------------------------------------------------ [例 5.2] 试证明下列二次型是正定的。 V(x) = 10x + 4x + x + 2x x − 2x x − 4x x 1 2 2 2 3 2 1 2 2 3 1 3 二次型 V (x) 可写为 利用赛尔维斯特准则，可得 因为矩阵 P 的所有主子行列式均为正值，所以 V (x) 是正定的。 ------------------------------------------------------------------ 5.3 Lyapunov 稳定性理论 1892 年，A.M.Lyapunov 提出了两种方法（称为第一法和第二法），用于确 定由常微分方程描述的动力学系统的稳定性。 第一法包括了利用微分方程显式解进行系统分析的所有步骤。 0, 0, , 0 1 2 21 22 2 11 12 1 12 22 11 12 11    n n n n n n p p p p p p p p p p p p p p                            − − − − = = 3 2 1 1 2 3 2 1 1 1 4 1 10 1 2 ( ) [ ] x x x V x x Px x x x T 0 2 1 1 1 4 1 10 1 2 0, 1 4 10 1 10 0,  − − − −  