习题与补充题 习题 1.证明d(是常向量的充要条件是a()=0。 2.设λ0是常数,a是常向量,证明 (1)(ar(t)=i ddd (2)((t)a)=tao (3)(ao·r(t)=aof(t)(4)(ao×r(t)=ax(t) 3.下列等式成立吗?为什么? (1)r2=|r2 dt dt (3)F dt 设向量函数a(t)满足a·a=0,axa,证明a(t)是常向量。 5.证明r()=(21-1,t2-2,-t2+4t)为共面向量函数。 6.证明:()=a+bn2+,为共面向量函数的充要条件是abd)=0 7.试证明 r1=(,snte)-<t<+∞ 与 r=(q, sin h0, 0). 0<6<+ 是同一条曲线的两种不同的表示式。 8.求曲线r=(e’cost,e'sint,e)在t=0处的切线方程 9.求曲线x2+y2=1,y2+z2=1在任意点处的法平面方程 10.求下列曲线的切线和法平面议程: (1)r(acost, asin, bt), t=0; (2)r=(t,t2,t),t=1; f(x,y,z)=0 (3) g(X,y,Z)=0 11.求下列曲线的副法线和密切平面方程习题与补充题 习题 1. 证明 a(t)  是常向量的充要条件是 a (t) = 0  。 2. 设0 是常数，a0 是常向量，证明 (1) ( ) d dt  r t  r 0 0 ( ) =  (2) ( ) d dt (t)a  (t)a 0 = 0  (3) ( ) d dt a r t a r t 0 0  ( ) = ( ) (4) ( ) d dt a r t a r t 0  ( ) = 0  ( ) 3. 下列等式成立吗？为什么？ (1) r r 2 2 = ； (2) r dt d dt dr = ； (3) dt d r r dt dr r      = 4. 设向量函数 a(t)满足 a  a  = 0, a  a  ，证明 a(t)是常向量。 5. 证明 ( ) (2 1, t - 2,- t + 4t) 2 2 r t = t − 为共面向量函数。 6. 证明： r t at b t c t     = + + 3 2 ( ) , 为共面向量函数的充要条件是 (a b c ) = 0    。 7. 试证明 r 1 = (t,sint, e), - < t < + 与 r2 = (lnq, sin ln,), 0 < < + 是同一条曲线的两种不同的表示式。 8. 求曲线 r = (e cost,esin t,e) 在 t=0 处的切线方程。 9. 求曲线 x y z 2 2 2 2 + = 1, y + = 1 在任意点处的法平面方程。 10. 求下列曲线的切线和法平面议程： (1) r=(acost, asint, bt), t=0； (2) r=(t, t2 , t3 ), t=1； (3) ( ) f x g x x ( ) ( , , ) , , , , y, z y z y z = =    0 0 0 0 0 11. 求下列曲线的副法线和密切平面方程