8z05a.nb 日例题:函数v()=V=-e,(0<如<x12,在:=0的值v0)=e2,:从=0出发沿直线到达:1=c,求 B 解:据函数的定义:w()=vF-e叫c明,其中:0=ag(=-e) 故:二=0时,60=丌+d 从20=0出发沿直线l到达1=c1·,=+2的3 故:(e)=yp-“eB=2smn“3 目例题:函数v()=m1-=2) 解:函数的定义:w)=ln|1-=21+iarg(1-)+argc+1) 枝点:z=±1和∞,做割线如左图,连接三个枝点。 也可做割线如右 做如右图割线,已知v(0)=0,求w(3)与w(3i) 令:61≡arg(1-x),B2=arg(+1) =0=0时:w(0)=i+的=0,→明+因=0 二=1=3时:沿C1从到二1,61=因+兀,B2=,(3)=ln8+ir z=2=3i时:沿C2从到2,61=的+(2r- arct3),2=明+ actg3,w(3i=ln10+2ir 番 Mathematica中的根式函数 番 Mathematica中的根式函数 52涉及多值函数的积分 若实变函数积分中涉及对数函数,根式函数,在利用留数定理计算积分时,将单值的实变函数拓展成复变函数时, 必然涉及多值函数,这时必须做适当的割线,恰当地定义(选取)单值分支 才能保证复变函数在某些积分路径上退化为实变函数积分。以下通过例题说明 目例题:计算积分:I= Inx-dx 选取:f(=)= 希望在实轴上,f()能退化为:☺ 例题：函数 w(z) = z -  ϕ , (0 < ϕ < π/2)，在 z = 0 的值 w(0) =   2 (ϕ+π) ，z 从 z0 = 0 出发沿直线到达 z1 = - ϕ, 求 w(z1) -  ϕ  ϕ B A O ϕ ϕ l 解：据函数的定义 ：w(z) = z -  ϕ  θ/2, 其中： θ ≡ arg z -  ϕ z = 0 时，w(0) =  θ/2 = (ϕ+π)/2, 故：z = 0 时，θ0 = π + ϕ z 从 z0 = 0 出发沿直线 l 到达 z1 = - ϕ，θ1 = θ0 + (π - 2 ϕ) 2 ∠OBA = 3 π 2 故：w- ϕ = - ϕ -  ϕ  θ1/2 = 2 sin ϕ  3 π/4 ☺ 例题：函数 w(z) = ln1 - z2 解：函数的定义 ：w(z) = ln 1 - z2 +  [arg(1 - z) + arg(z + 1)], 枝点：z = ±1 和 ∞，做割线如左图 ，连接三个枝点 。 -1 0 1 -1 1 C1 C2 也可做割线如右图 。现做如右图割线 ，已知 w(0) = 0, 求 w(3) 与w(3 )。 令：θ1 ≡ arg(1 - z), θ2 = arg(z + 1) z = z0 = 0 时：w(0) = θ1 0 + θ2 0 = 0, ⟹ θ1 0 + θ2 0 = 0 z = z1 = 3 时：沿 C1 从 z0 到 z1，θ1 = θ1 0 + π, θ2 = θ2 0, w(3) = ln 8 +  π z = z2 = 3  时：沿 C2 从 z0 到 z2，θ1 = θ1 0 + (2 π - arctg 3), θ2 = θ2 0 + arctg 3, w(3 ) = ln 10 + 2  π  Mathematica 中的根式函数  Mathematica 中的根式函数 5.2 涉及多值函数的积分 若实变函数积分中涉及对数函数，根式函数，在利用留数定理计算积分时，将单值的实变函数拓展成复变函数时， 必然涉及多值函数，这时必须做适当的割线，恰当地定义（选取）单值分支， 才能保证复变函数在某些积分路径上退化为实变函数积分。以下通过例题说明。 ☺ 例题：计算积分：I = 0 ∞ ln x 1 + x2 2 x 解：选取：f (z) = ln z 1 + z2 2 , 希望在实轴上 ，f (z) 能退化为： ln x 1 + x2 2 8 z05a.nb