z05a.nba += 其中:从右割线上岸到二=2+i,61 82= actg +12-1-1c2 (+b)2-1 --arcta 7丌 其中:从右割线上岸到=2-i,的1=一,B=- arct-(顺时针) 目例题:设w()==( 式根据下述条件计算:w(-1) i.作割线连接=0和z=1,并规定在割线上岸:61≡arg()=0,b2≡arg(1-2)=0 不作割线,规定mg叫)=0.:分别沿如右图路径C与C2从移动到:= 割线为从z=0到=1的线段 右图路径C2与C4相当于穿过割线 函数值与经路径C2与C4 1时的函数值不同 解:i.在割线上岸,61=B2=0 如沿L1从上岸到达=-1,B1=0+丌,的=0+0 →m(-1)=√2e2=v2i 如果沿L2从上岸到达二=-1,1=0-,B=0-2丌 √2e23n=y2i 结果是相等的,也即在做好割线之后,只要路径不穿过割线,函数值就唯一确定 当然,必须沿相同的路径求两个辐角的1与(同为红或绿色路径) ii.不做割线,规定在:。1 , arg 即二=-时,的=明,B2 →(+因) 沿红色路径C1到达z=-1时,61=明+x,=因,→(-1)=V2e2=v2i 沿蓝色路径C2到达二=-1时,的1=明+3兀,B=因 =√2ce2+3+的 可见,沿C2,相当于穿过左图的割线(尽管未画出),必跑到另一个单值分支,函数值发生改变 若沿绿色路径C3到达:=-1,的=+兀,B2=因,→m(-1)=√2e2明=√2i 沿C3未穿过割线,仍在同一个单值分支,函数值仍为√2i 若沿紫色路径C4到达二=-1,B1=-兀,B2=B,=→m(-1)=2c2=-V2i 相当于穿过左图的割线(z=0到z=1的线段,未画出)跑到另一个单值分支, 函数值不再等于√2iw′ (2 + ) = z z2 - 1 z=2+ = (2 + ) 2 + + 1 2 +  - 1   2 (θ1+θ2) = 2 +  20 4  -  2 π 4 +arctg 1 3 其中：从右割线上岸到 z = 2 + ，θ1 = π 4 ，θ2 = arctg 1 3 w′ (2 - ) = z z2 - 1 z=2- = (2 - ) 2 - + 1 2 - - 1   2 (θ1+θ2) = 2 -  20 4  -  2 7 π 4 -arctg 1 3 其中：从右割线上岸到 z = 2 - ，θ1 = 7 π 4 ，θ2 = -arctg 1 3 （顺时针） ☺ 例题：设 w(z) = z(1 - z) ，试根据下述条件计算：w(-1) 。 i. 作割线连接 z = 0 和 z = 1，并规定在割线上岸：θ1 ≡ arg(z) = 0，θ2 ≡ arg(1 - z) = 0； ii. 不作割线，规定 arg w 1 2  = 0， z 分别沿如右图路径 C1与 C2 从 1 2 移动到 z = -1。 -1 0 1 L1 L2 C3 - 0 1 C1 1 2 C2 C4 割线为从 z = 0 到 z = 1 的线段， 右图路径 C2 与 C4 相当于穿过割线 ， 函数值与经 路径 C2 与 C4 到达 z = -1 时的函数值不同 。 解：i. 在割线上岸 ，θ1 = θ2 = 0 如沿 L1 从上岸到达 z = -1， θ1 = 0 + π, θ2 = 0 + 0 ⟹ w(-1) = 2   2 (θ1+θ2) = 2  如果沿 L2 从上岸到达 z = -1， θ1 = 0 - π, θ2 = 0 - 2 π ⟹ w(-1) = 2   2 (θ1+θ2) = 2   2 (-3 π) = 2  结果是相等的 ，也即在做好割线之后 ，只要路径不穿过割线 ，函数值就唯一确定 。 当然，必须沿相同的路径求两个辐角 θ1 与 θ2 （同为红或绿色路径 ） ii. 不做割线 ，规定在 z = 1 2 , arg w 1 2 = 0, 即 z = 1 2 时，θ1 = θ1 0, θ2 = θ2 0, arg w 1 2 = θ1 0 + θ2 0 2 ⟹ θ1 0 + θ2 0 = 0, 沿 红色路径 C1 到达 z = -1 时，θ1 = θ1 0 + π, θ2 = θ2 0, ⟹ w(-1) = 2   2 (θ1 0+π+θ2 0) = 2  沿蓝色路径 C2 到达 z = -1 时，θ1 = θ1 0 + 3 π, θ2 = θ2 0, ⟹ w(-1) = 2   2 (θ1 0+3 π+θ2 0) = - 2  可见，沿 C2, 相当于穿过左图的割线 （尽管未画出 ），必跑到另一个单值分支 ，函数值发生改变 。 若沿绿色路径 C3 到达 z = -1，θ1 = θ1 0 + π, θ2 = θ2 0, ⟹ w(-1) = 2   2 (θ1 0+π+θ2 0) = 2  沿 C3 未穿过割线 ，仍在同一个单值分支 ，函数值仍为 2 。 若沿紫色路径 C4 到达 z = -1，θ1 = θ1 0 - π, θ2 = θ2 0, ⟹ w(-1) = 2   2 (θ1 0-π+θ2 0) = - 2  相当于穿过左图的割线 （z = 0 到 z = 1 的线段，未画出） 跑到另一个单值分支 ， 函数值不再等于 2 。 z05a.nb 7