6z05a.nb 从前题知:二=±1是()=V=2-1的枝点,可以有两种不同的割线 左图的割线必导致v(-2)=-1(2),显然不能退化为个g(x),下证之 设在=2时, argc+1)=2,w(2)=V|2-1 的+t2 沿左图白色路径到达z=-2 在二=-2时,arg(-1)=61=61+r,arg(+1)=B1=62+丌, 6+2=√3e+++=-V3e"(b+hM2=-(2) 因此,取左图割线无法使得当二在实轴上时,f(=)退化为g(x),无论在哪一个单值分支 只能取如右图之割线。在右割线的上岸,定义arg(-1)=61=0,arg(+1)=B2=0 对实轴上x≥21,取右割线上岸的函数值,v()=√P2-1e+2=V2-1 对实轴上x≤-1,取左割线下岸的函数值,=61+兀,B1=62-x B+g=01+2=0.仍有:m(=√四-1cP=√x-1 对实轴上川<1,有:=61+丌,=B2 +的=6+x+B=,故:me)=v2- =√1-x2ca2=i 目例题:已知函数w=f()=y2-1在实轴上退化为:w(x)= x2,x<1 求:w(2)、w(2+i)和w(2-) 上岸 解:取如上图蓝色之割线。定义:61≡arg(z-1),B2≡arg(+1) 在右上岸,取的1=6=0,在实轴上即可退化为所要求的函数(见上一题)。 因为三要素(枝点、割线、上岸辐角值)均已定,故w=√2-1实际上已经是单值函数 当然,枝点〓=±1是函数的奇点,除枝点与无穷远点〓=∞外,函数在复平面内解析。 导法则同实变函数 (-)=f( v'()= 在实轴z=2,必须取右割线上岸的点,才能满足题意 故:在二=2,B1=0,62=0 '(2)= 与实函数比较:w/(x)从前题知：z = ±1 是 f (z) = z2 - 1 的枝点，可以有两种不同的割线 左图的割线必导致 w(-2) = -w(2)，显然不能退化为 个 g(x)，下证之。 设在 z = 2 时，arg(z - 1) = θ1, arg(z + 1) = θ2, w(2) = 22 - 1 (θ1+θ2)/2 = 3 (θ1+θ2)/2 沿左图白色路径到达 z = -2 在 z = -2 时，arg(z - 1) = θ1 ′ = θ1 + π, arg(z + 1) = θ2 ′ = θ2 + π, w(-2) = 22 - 1 (θ1 ′ +θ2 ′ )/2 = 3 (θ1+π+θ2+π)/2 = - 3 (θ1+θ2)/2 = -w(2) 因此，取左图割线无法使得当 z 在实轴上时 ，f (z) 退化为 g(x)，无论在哪一个单值分支 。 只能取如右图之割线 。在右割线的上岸 ，定义 arg(z - 1) = θ1 = 0, arg(z + 1) = θ2 = 0 对实轴上 x ≥ 1，取右割线上岸 的函数值 ，w(z) = x2 - 1 (θ1+θ2)/2 = x2 - 1 对实轴上 x ≤ -1，取左割线下岸 的函数值 ，θ1 ′ = θ1 + π, θ2 ′ = θ2 - π θ1 ′ + θ2 ′ = θ1 + θ2 = 0, 仍有：w(z) = x 2 - 1 ( θ1 ′ +θ2 ′ )/2 = x2 - 1 对实轴上 x < 1，有：θ1 ′′ = θ1 + π, θ2 ′′ = θ2, θ1 ′′ + θ2 ′′ = θ1 + π + θ2 = π, 故：w(z) = x2 - 1   2 (θ1 ′′+θ2 ′′) = 1 - x2  π/2 =  1 - x2 ☺ 例题：已知函数 w = f (z) = z2 - 1 在实轴上退化为：w(x) = x2 - 1 , x ≥ 1  1 - x2 , x < 1 ， 求：w′ (2) 、 w′ (2 + ) 和 w′ (2 - ) 2 -  x y -1 1 上岸 2 +  解：取如上图蓝色之割线 。定义：θ1 ≡ arg(z - 1), θ2 ≡ arg(z + 1) 在右上岸，取 θ1 = θ2 = 0，在实轴上即可退化为所要求的函数 （见上一题）。 因为三要素 （枝点、割线、上岸辐角值 ） 均已定，故 w = z2 - 1 实际上已经是单值函数 。 当然，枝点 z = ±1 是函数的奇点 ，除枝点与无穷远点 z = ∞ 外，函数在复平面内解析 。 w′ (z) = f ′ (z) 求导法则同实变函数 w′ (z) = z z2 - 1 在实轴 z = 2，必须取右割线上岸的点 ，才能满足题意 ， 故：在 z = 2，θ1 = 0, θ2 = 0 w′ (2) = 2 3   2 (θ1+θ2) = 2 3 , 与实函数比较 ： w′ (x) x=2 = x x2 - 1 x=2 = 2 3 6 z05a.nb