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,1228 北京科技大学学报 第30卷 表3屈服曲率0.0012时的五个桥墩最不利角度计算结果 三 180 Table 3 Calculated critical angles of five piers at a yield curvature of 150 0.0012 (9 120 ◆P1墩·P3墩P5墩 。-P2墩◆P4墩 地震输入方向角度 P2 P3 P4 P5 90 60 (0,90) 3 173 147 93 90 30 ◆ (15,105) 6 173 138 95 85 04 15 30 456075 90 (30,120) 12 173 139 101 81 地震波输入角度a取值() (45,135) 9 146 135 103 91 图12屈服曲率0.0012时各墩最不利角度公式求解结果 (60,150) 9 160 160 98 86 Fig-12 Calculated critical angles of each pier at a yield curvature of (75,165) 5 149 149 c 88 0.0012 (90,180) 2 150 150 89 将以上两图的曲线与表4中的时程分析结果比 入的方向α时对曲线桥上部结构的刚度差异考虑 较可以看出，最不利角度的变化幅值在各个桥墩时 不足 程分析求得结果附近，以后者为中心波动，通过算 结合图10，比较时程分析结果和表3计算结果 例看出，选定垂直的两个地震输入方向，在这两个方 可知，除了个别数据外，误差均在输入角度计算增量 向上对整个桥作Pushover分析，将所得的桥墩底部 (15)以内.为了方便从宏观上观察计算结果和时 曲率代入文中公式求解最不利角度，所得到的结果 程分析结果的一致性，如果考虑对表2和表3中的 具有一定的精度，与时程分析得到的最不利角度一 一列取平均值作为计算最不利角度结果均值（表4 致，可以满足工程精度上的要求， 所示)，可以看到取屈服曲率0.0012时，误差可控 同时，从两组计算中可以发现，选取不同屈服曲 制在13°内，从图11可以看到，在屈服曲率取为 率会对求解结果的离散性有影响，在图9和图10中 0.0006的情况下计算所得的各桥墩的最不利角度 表现为计算结果曲线的光滑度不一样.造成这种不 结果都围绕某一值而上下浮动.同样，从图12可以 同的原因在于屈服曲率是判断结构是否处于塑性状 看到类似的情况 态关键参数，其大小与结构在竖直平面内的荷载有 表4时程分析结果和两种屈服曲率下的最不利角度计算结果比较 关，如果这种竖向荷载不可忽略，那么结构的受力状 Table 4 Comparison of critical angles between time history analysis and 态需要考虑其水平状态和竖向状态的矢量叠加，计 formula calculation with the two different yield curvat ures 算中所取屈服曲率参数不同，也会影响结构最不利 桥墩 时程分析的 表2计算 表3计算 角度求解的精确性， 编号 结果 结果均值 结果均值 pl 0 8 6 3结论 P2 165 166 161 (1)地震的输入角度对曲线桥梁桥墩底部曲率 p3 135 163 148 的地震反应影响较大，基于墩底曲率的地震最不利 P4 90 82 99 输入角度明显 P5 90 81 87 (2)在橡胶支承的曲线桥、等高桥墩的条件下， 本文以Pushover法为基础，推导了结构受地震作用 180 时，以桥墩底部曲率为标准的最不利角度的计算公 150 式(14)和(17) 区人区定公所 120 (③)不同桥墩存在各自的地震最不利输入角 90 60 ◆P1嫩◆一P3墩P5墩 度，同一座桥的几个桥墩的最不利角度不存在紧密 30 。-P2墩●-P4墩 联系，各墩的屈服曲率对最不利角度也有影响 ◆ 15 30456075 90 (4)基于Pushover法，通过桥墩底部曲率来推 地藏波输入角度α取值/() 定地震波最不利输入角度，可以简化对曲线桥梁最 图11屈服曲率0.0006时各墩最不利角度公式求解结果 不利输入角度的计算过程.与时程分析方法相比， Fig-11 Calculated critical angles of each pier at a yield curvature of 这种方法是牺牲少量的计算精度来大量缩短计算时 0.0006 间，在实际工程设计中具有重要的意义，表3 屈服曲率0∙0012时的五个桥墩最不利角度计算结果 Table3 Calculated critical angles of five piers at a yield curvature of 0∙0012 （°） 地震输入方向角度 P1 P2 P3 P4 P5 （090） 3 173 147 93 90 （15105） 6 173 138 95 85 （30120） 12 173 139 101 81 （45135） 9 146 135 103 91 （60150） 9 160 160 98 86 （75165） 5 149 149 98 88 （90180） 2 150 150 89 89 入的方向 α时对曲线桥上部结构的刚度差异考虑 不足． 结合图10比较时程分析结果和表3计算结果 可知除了个别数据外误差均在输入角度计算增量 （15°）以内．为了方便从宏观上观察计算结果和时 程分析结果的一致性如果考虑对表2和表3中的 一列取平均值作为计算最不利角度结果均值（表4 所示）可以看到取屈服曲率0∙0012时误差可控 制在13°内．从图11可以看到在屈服曲率取为 0∙0006的情况下计算所得的各桥墩的最不利角度 结果都围绕某一值而上下浮动．同样从图12可以 看到类似的情况． 表4 时程分析结果和两种屈服曲率下的最不利角度计算结果比较 Table4 Comparison of critical angles between time history analysis and formula calculation with the two different yield curvatures （°） 桥墩 编号 时程分析的 结果 表2计算 结果均值 表3计算 结果均值 P1 0 8 6 P2 165 166 161 P3 135 163 148 P4 90 82 99 P5 90 81 87 图11 屈服曲率0∙0006时各墩最不利角度公式求解结果 Fig．11 Calculated critical angles of each pier at a yield curvature of 0∙0006 图12 屈服曲率0∙0012时各墩最不利角度公式求解结果 Fig．12 Calculated critical angles of each pier at a yield curvature of 0∙0012 将以上两图的曲线与表4中的时程分析结果比 较可以看出最不利角度的变化幅值在各个桥墩时 程分析求得结果附近以后者为中心波动．通过算 例看出选定垂直的两个地震输入方向在这两个方 向上对整个桥作 Pushover 分析将所得的桥墩底部 曲率代入文中公式求解最不利角度所得到的结果 具有一定的精度与时程分析得到的最不利角度一 致可以满足工程精度上的要求． 同时从两组计算中可以发现选取不同屈服曲 率会对求解结果的离散性有影响在图9和图10中 表现为计算结果曲线的光滑度不一样．造成这种不 同的原因在于屈服曲率是判断结构是否处于塑性状 态关键参数其大小与结构在竖直平面内的荷载有 关如果这种竖向荷载不可忽略那么结构的受力状 态需要考虑其水平状态和竖向状态的矢量叠加．计 算中所取屈服曲率参数不同也会影响结构最不利 角度求解的精确性． 3 结论 （1） 地震的输入角度对曲线桥梁桥墩底部曲率 的地震反应影响较大基于墩底曲率的地震最不利 输入角度明显． （2） 在橡胶支承的曲线桥、等高桥墩的条件下 本文以 Pushover 法为基础推导了结构受地震作用 时以桥墩底部曲率为标准的最不利角度的计算公 式（14）和（17）． （3） 不同桥墩存在各自的地震最不利输入角 度同一座桥的几个桥墩的最不利角度不存在紧密 联系各墩的屈服曲率对最不利角度也有影响． （4） 基于 Pushover 法通过桥墩底部曲率来推 定地震波最不利输入角度可以简化对曲线桥梁最 不利输入角度的计算过程．与时程分析方法相比 这种方法是牺牲少量的计算精度来大量缩短计算时 间在实际工程设计中具有重要的意义． ·1228· 北 京 科 技 大 学 学 报 第30卷