§18.球坐标系下的 Lapalce算符 球坐标系下的 Lapalce算符 球坐标(r,,0)和直角坐标(x,y,2)的关系是 r=r sin 6 coso, y=r sin 6 sin o, 2=r cos 6 由此可以解出 dr sin 6 cos o dr sin 6 sin o dy+ cos 0 dz cos 6 cos o cos 0 sin o dr+ sIno r sIn 因此 a dr d 00 0 do a A coso d dr 0r Or dr 00 0r do snt cos o a dr a a0 a do a a cos 6 sino a dy dy dr dy ae dy do B2=a2a+a26 cos ar 在此基础上就可以求出 a- cos 8 co a cos 0 coso d sing d = sin 8 cos o sin e cos r sin e 00 r sin 6 do 2o 2 02 cos0 cos2o a2 sin2o 02 2 sin cos 0 coso a2 2 sin o cos o a- 2 cos 0 cos2 cos2o+sing a sin e ado 2 sin20 cos 0 cos2o+ cos 0 sin26 a 2 sin o cos o 00 = sin 6 sin a cos 0 sin o a coso a a cos 0 sing a coso d sin g sin ra0 r sin 0 ao sin 6 do cos2o a2 2 sin 0 cos A sin2 a 2 sin o cos o d 2 cos 0 sin o cos o 0- cos0 sin oso d ard rising or sin20 cos 6 sin2o+ cos 0 cos26 a 2sin o cos o a rasin 6 r2sin-8 2=(c0s-580 cos H 0×、2sin6cos60sin20Wu Chong-shi §18. ◆❖P◗❘❙ Lapalce ❚❯ ❱ 2 ❲ ❳✔✕✖✙✚ Lapalce ✛✜ ❨✥✦ (r, θ, φ) ✧★✩✥✦ (x, y, z) ✪✫✬✭ x = r sin θ cos φ, y = r sin θ sin φ, z = r cos θ. ✮✯❑▲❩✳ dr = sin θ cos φ dx + sin θ sin φ dy + cos θ dz, dθ = cos θ cos φ r dx + cos θ sin φ r dy − sin θ r dz, dφ = − sin φ r sin θ dx + cos φ r sin θ dy. ❬✯ ∂ ∂x = ∂r ∂x ∂ ∂r + ∂θ ∂x ∂ ∂θ + ∂φ ∂x ∂ ∂φ = sin θ cos φ ∂ ∂r + cos θ cos φ r ∂ ∂θ − sin φ r sin θ ∂ ∂φ, ∂ ∂y = ∂r ∂y ∂ ∂r + ∂θ ∂y ∂ ∂θ + ∂φ ∂y ∂ ∂φ = sin θ sin φ ∂ ∂r + cos θ sin φ r ∂ ∂θ + cos φ r sin θ ∂ ∂φ, ∂ ∂z = ∂r ∂z ∂ ∂r + ∂θ ∂z ∂ ∂θ = cos θ ∂ ∂r − sin θ r ∂ ∂θ . ❋✯●❍■❂❑▲✲✳ ∂ 2 ∂x2 =  sin θ cos φ ∂ ∂r + cos θ cos φ r ∂ ∂θ − sin φ r sin θ ∂ ∂φ sin θ cos φ ∂ ∂r + cos θ cos φ r ∂ ∂θ − sin φ r sin θ ∂ ∂φ = sin2 θ cos2 φ ∂ 2 ∂r2 + cos2 θ cos2φ r 2 ∂ 2 ∂θ2 + sin2 φ r 2 sin2 θ ∂ 2 ∂φ2 + 2 sin θ cos θ cos2 φ r ∂ 2 ∂r∂θ − 2 sin φ cos φ r ∂ 2 ∂r∂φ − 2 cos θ sin φ cos φ r 2 sin θ ∂ 2 ∂θ∂φ + cos2 θ cos2 φ + sin2 φ r ∂ ∂r + −2 sin2 θ cos θ cos2 φ + cos θ sin2 φ r 2 sin θ ∂ ∂θ + 2 sin φ cos φ r 2 sin2 θ ∂ ∂φ, ∂ 2 ∂y2 =  sin θ sin φ ∂ ∂r + cos θ sin φ r ∂ ∂θ + cos φ r sin θ ∂ ∂φ sin θ sin φ ∂ ∂r + cos θ sin φ r ∂ ∂θ + cos φ r sin θ ∂ ∂φ = sin2 θ sin2φ ∂ 2 ∂r2 + cos2 θ sin2φ r 2 ∂ 2 ∂θ2 + cos2 φ r 2 sin2 θ ∂ 2 ∂φ2 + 2 sin θ cos θ sin2 φ r ∂ 2 ∂r∂θ + 2 sin φ cos φ r ∂ 2 ∂r∂φ + 2 cos θ sin φ cos φ r 2 sin θ ∂ 2 ∂θ∂φ + cos2 θ sin2 φ + cos2 φ r ∂ ∂r + −2 sin2 θ cos θ sin2 φ + cos θ cos2 φ r 2 sin θ ∂ ∂θ − 2 sin φ cos φ r 2 sin2 θ ∂ ∂φ, ∂ 2 ∂z2 =  cos θ ∂ ∂r − sin θ r ∂ ∂θ cos θ ∂ ∂r − sin θ r ∂ ∂θ = cos2 θ ∂ 2 ∂r2 + sin2 θ r 2 ∂ 2 ∂θ2 − 2 sin θ cos θ r ∂ 2 ∂r∂θ + 2 sin θ cos θ r 2 ∂ ∂θ + sin2 θ r ∂ ∂r