0,∑C(2n,2k) 0,∑C(2n2k)=∑2+∑( (221+0)=2 七、(10分)用3种颜色涂色3×3的方格棋盘,每个方格一种颜色.如果允许 棋盘任意旋转或翻转,问有多少种不同的涂色方案? 解答:群G的置换结构为: (·)()()()()()(°)(°)(·)1个 (·)(··)(·°)(°)(° 个 ·)(·°)(0)(·)()() M=(3+2×33+35+4×3“)=2862 评分标准:群对了得6分, Polay定理用对了得3分,计算对了得1分。 八、(14分)设n为自然数,求平面上由直线x+2y=n与两个坐标轴所围成的 直角三角形内(包括边上)的整点个数,其中整点表示横、纵坐标都是整 数的点 解:整点个数为以下方程非负整数解的个数 x+2y=r,F=0,12,n 生成函数为 A(2 41+ ∑(-1 (1+r) ∑ n+ 为偶数 N=∑a= 4+4(-1 +1)(n+3)n为奇数 评分标准:写对生成函数得6分,解出a得5分,求出N得3分。- 2 - 2 2 1 2 0 2 0 0 0 2 0 2 2 2 1 1 2 2 1 0 2 2 0 2 2 1 − = = = = = + = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ > = = = ∑ ∑ ∑ ∑ n n n k k n k n k n k k n k n n C n k n C n k , ( , ) ( ( ) ) ( ) , ( , ) 七、（10 分）用 3 种颜色涂色 3×3 的方格棋盘，每个方格一种颜色. 如果允许 棋盘任意旋转或翻转，问有多少种不同的涂色方案？ 解答：群 G 的置换结构为： (•) (•) (•) (•) (•) (•) (•) (•) (•) 1 个 (• • • •) (• • • •) (•) 2 个 (• •) (• •) (• •) (• •) (•) 1 个 (• •) (• •) (• •) (•) (•) (•) 4 个 (3 2 3 3 4 3 ) 2862 8 1 9 3 5 6 M = + × + + × = 评分标准： 群对了得 6 分，Polay 定理用对了得 3 分，计算对了得 1 分。 八、（14 分）设 n 为自然数，求平面上由直线 x+2y=n 与两个坐标轴所围成的 直角三角形内（包括边上）的整点个数，其中整点表示横、纵坐标都是整 数的点. 解：整点个数为以下方程非负整数解的个数 x+2y=r , r=0,1,…,n 生成函数为 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ + + + = = + + − = = + + − = − − + + + − + − + + = − − = ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ = = ∞ = ∞ = ∞ = 为奇数 为偶数 n n n n n r N a r a z r z r z z z z z z A z n r r n r r r r r r r r r r r ( )( ) ( ) [ ( ) ] ( ) ( ) ( ) z ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 1 3 4 1 2 4 1 1 4 1 4 3 2 1 4 1 4 3 2 1 4 3 1 4 1 4 1 1 1 4 3 1 4 1 4 1 1 1 1 2 0 0 0 0 0 2 2 评分标准：写对生成函数得 6 分，解出 ar得 5 分，求出 N 得 3 分