(10分)设N是群G的一个正规子群,且GN=m,证明va∈G都有 a"∈N. 解答与评分标准: 证根据商群定义GF=GM,因此(GM=m.(2分) va∈G,Na∈GN,(Na)=N (3分) 根据商群运算有,(Na)=Nam,从而Nam=N(3分) 由陪集相等条件得a"∈N (2分) 四、(10分)证明有理数域的自同构只有恒等自同构 解答与评分标准 证任何有理数表为pq,其中pq为整数,q>0,p与q互素(1分) 自同构满足∫Q→Q,且A0=0,f(1)=1, (2分) x∈Z,fx)=f1+1+1++1)=f(1)+(1)+.+(1)=x (2分 Vx∈Z,令x=y,则f(x)=(-y)=-(y)=-y=x (1分) Vxe@, x-p/g, x)pq p]q pug)=pq=plx (25) vx∈g,x=plq,fx)=(p)(q)=一(p)(q)=-pq=x ∫为恒等映射 五、(16分)由集合{5a,1·b,1c,1d,1e}中的全体元素构成字母序列,求: 1.没有两个a相邻的序列个数 2.b,c,d,e中的任何两个字母都不相邻的序列个数 解答与评分标准: 以a为格子分界,放b,c,de进入4个格子,方法数为4=24(8分) 2.以bcd,e为格子分界,方法数为4!。将3个a放入格内分隔b,c,de, 然后将另2个a插入5个空隙,方法数为方程x1+x2+x3+x4+x5=2的非 负整数解个数,为C6,2)=15 所求方法数为N=15.4=360 (8分) 六、(10分)求和∑C(2n,2k) 解答与评分标准 求和结果正确得10分,没讨论m=0情况者得9分。- 1 - 三、（10 分）设 N 是群 G 的一个正规子群，且[G:N]=m，证明∀a∈G 都有 am∈N. 解答与评分标准： 证 根据商群定义 |G/N|=[G:N]，因此|G/N| = m. （2 分） ∀a∈G, Na∈G/N，(Na) m = N （3 分） 根据商群运算有, (Na) m=Nam , 从而 Nam = N （3 分） 由陪集相等条件得 am∈N. （2 分） 四、（10 分）证明有理数域的自同构只有恒等自同构. 解答与评分标准： 证 任何有理数表为 p/q，其中 p,q 为整数，q>0，p 与 q 互素 （1 分） 自同构满足 f:Q→Q, 且 f(0)=0, f(1)=1, （2 分） ∀x∈Z+ ，f(x)=f(1+1+1+…+1)=f(1)+f(1)+…+f(1)=x. （2 分） ∀x∈Z− , 令 x=−y，则 f(x)=f(−y)= −f(y)= −y=x （1 分） ∀x∈Q+ , x=p/q, f(x)=f(pq−1 )=f(p)f(q−1 )=p(f(q))−1 =pq−1 =p/q=x （2 分） ∀x∈Q− , x=−p/q, f(x)=f(−p)f(q−1 )= −f(p)f(q−1 )= −p/q=x （2 分） f 为恒等映射。 五、（16 分）由集合{5⋅a, 1⋅b, 1⋅c, 1⋅d, 1⋅e}中的全体元素构成字母序列，求： 1．没有两个 a 相邻的序列个数 2．b, c, d, e 中的任何两个字母都不相邻的序列个数. 解答与评分标准： 1．以 a 为格子分界，放 b,c,d,e 进入 4 个格子，方法数为 4!=24 （8 分） 2．以 b,c,d,e 为格子分界，方法数为 4!。将 3 个 a 放入格内分隔 b,c,d,e， 然后将另 2 个 a 插入 5 个空隙，方法数为方程 x1+x2+x3+x4+x5=2 的非 负整数解个数，为 C(6,2)=15 所求方法数为 N=15⋅ 4!=360 （8 分） 六、（10 分）求和 ∑ = n k C n k 0 (2 ,2 ) 解答与评分标准： 求和结果正确得 10 分， 没讨论 n=0 情况者得 9 分