第2章曲面与空间曲线的方程 $2.2曲面的方程 1、一动点移动时，与A(4,0,0)及xoy平面等距离，求该动点的轨迹方程。 解：设在给定的坐标系下，动点M(x,y,z),所求的轨迹为C, 则M(x,y,z)∈C台 MA =l2l 亦即V(x-4)2+y2+z2=间 .(x-4)2+y2=0 山于上述变形为同解变形，从而所求的轨迹方程为(x一4)2+y2=0 2、在空间，选取适当的坐标系，求下列点的轨迹方程： (1)到两定点距离之比为常数的点的轨迹： (2)到两定点的距离之和为常数的点的轨迹： (3)到两定点的距离之差为常数的点的轨迹： (4)到一定点和一定平面距离之比等于常数的点的轨迹。 解：(1)取二定点的连线为x轴，二定点连接线段的中点作为坐标原点，月令两距离之比的 常数为m,二定点的距离为2a,则二定点的坐标为(a,0,0),(-a,0,0),设动点M(x,y,z), 所求的轨迹为C,则 M(x,y,2)∈C台√(x-a)2+y2+z2=mVx+a)2+y2+z2 亦即(x-a)2+y2+z2=m2[(x+a)2+y2+z2] 经同解变形得：(1-m2)(x2+y2+z2)-2a(1+m2)x+(1-m2)a2=0 上式即为所要求的动点的轨迹方程。 (2)建立坐标系1(1)，但设两定点的距离为2C,距离之和常数为2a。设动点M(x,y,z), 要求的轨迹为C, M(x.y,z)EC(x-c)+y2+2+(x+c)+y2+22=2a 亦即 V(x-c)2+y2+z2=2a-Vx+c)2+y2+z2 两边Ψ方月整理后，得：(a2-c2)x2+a2y2+a2z2=a2(a2-c2) (1) a>c.令b2=a2-c2 从而(1)为b2x2+a2y2+a2z2=a2b2