七、(10分)设A=3-16,求矩阵A的若尔当标准形 20-5 -30 10 解E-A=-34+1-6-04+10 (6分) 02+5)(00(+1)2 A的初等因子为{(+1)(+1)},A的若当标准形为 100 (4分) 01 八、(此题10分)用施密特正交化的方法,将=1,P2=2,B=3标准正交 3 化 解正交化得a1=B1=1 (1分) βz (3分) (a12a1) 0=、(B、a)a1(a2)9 )(B3,a2) 13 4(3分) 单位化得n 2ma2= (3分) 3√14 九、(10分)设Ⅴ是一个欧几里得空间,τ是V的一个反对称变换.证明:如果λ 是τ的一个实特征值,则λ是0. 证如果λ是τ的一个实特征值,则有特征向量n≠0,使 n=人on 从而(mnn)=(on,n)=0(n,n 第4页共5页第 4 页 共 5 页 七、（10 分）设 A=         2 0 5 3 1 6 3 0 8 ，求矩阵 A 的若尔当标准形． 解 λE-A=             2 0 5 3 1 6 3 0 8    →         2 0 0 ( 1) 0 1 0 1 0 0   （6 分） A 的初等因子为{(λ+1),( λ+1) 2}，A 的若当标准形为 J=          0 1 1 0 1 0 1 0 0 （4 分） 八、（此题 10 分）用施密特正交化的方法，将β1=       1 1 1 ，β2=       3 2 1 ，β3=       9 3 1 标准正交 化． 解 正交化得 α1= β1=       1 1 1 （1 分） α2= β2 1 1 1 2 1 ( , ) ( , )      =       3 2 1        1 1 1 3 6 =       1 0 1 （3 分） α3= β3 1 1 1 3 1 ( , ) ( , )      2 2 2 3 2 ( , ) ( , )       =       9 3 1        1 1 1 3 13        1 0 1 2 8 =         2 4 22 3 1 （3 分） 单位化得 η1= 1 1 1   =       1 1 1 3 1 η2= 2 2 1   =       1 0 1 2 1 η3= 3 3 1   =         1 2 11 3 14 1 （3 分） 九、（10 分） 设 V 是一个欧几里得空间，τ是 V 的一个反对称变换．证明：如果λ0 是τ的一个实特征值，则λ0是 0． 证 如果λ0是τ的一个实特征值，则有特征向量η≠0，使 τη=λ0η 从而 (τη,η)=(λ0η,η)=λ0(η,η)