得入=7的特征子空间的一个基 4分) 五、(此题12分,每小题6分)①设A= 其中B是r×r矩阵,H是s×s 0 H 矩阵.证明:H的最小多项式是A的最小多项式的一个因子 证显然A-/BG,其中G是一个rxs矩阵,设A的最小多项式为 0 H mA a(x)=x*+ak-Ixk-I+tar x+ao 则 mA(A m4(B) 0 从而mA(H=0.设m(x)是H的最小多项式,则m(x)是mA(x)的一个因子 ②设V是一个F上的线性空间,∈g(V),o的最小多项式m(),设h()∈ F[D].证明:如果(mO)h(入)=1,则h(o是可逆的 证如果(m(),h()=1,则存在多项式v()v2(λ),使 vO)m()+v1()h()=1 从而v(o)m(G+v1(oh(G=idv 因为m(=0 所以v(o)h(o)=idv 考虑多项式的交换性知v(o)是h(o的逆变换 六、(12分)设σ∈出(V),dm(V)=n,并且σ在基{β,B2,,Bm}下的矩阵是J(λo,n).证 明:①如果W≠{0}是一个σ子空间,则βn∈W.②V不可能是两个非平凡的子空 间的直和 证①如果W是G子空间,它必然也是(Gd)不变子空间,且 (σ-id)(β)=βr+1 取a∈W,a≠0,可表示为 a=kian+ k202+.+ kna 设k是不为零的系数中下标最小的一个,则有 a=ksas+ ks+1as+1+.+ kna 用(σ-id)s对上式两端变换得 (o-id)n-s(a)=ksBn 由于k≠0,上式左端属于W,所以β属于 (8分) 证②假设V是两个非平凡的子空间W,U的直和,根据①知,Bn∈W,Bn∈U, 矛盾.所以Ⅴ不可能是两个非平凡的子空间的直和 (4分) 第3页共5页第 3 页 共 5 页 得λ3=-7 的特征子空间的一个基 ξ3=        2 2 1 （4 分） 五、（此题 12 分，每小题 6 分）① 设 A=       H B G 0 ，其中 B 是 r×r 矩阵，H 是 s×s 矩阵．证明：H 的最小多项式是 A 的最小多项式的一个因子． 证 显然 Ak=       k k k H B G 0 ，其中 Gk是一个 r×s 矩阵，设 A 的最小多项式为 mA(x)=x k+ak-1 x k-1 +...+a1 x 1 + a0 则 mA (A)=       0 ( ) ( ) ' m H m B G A A =       0 0 0 0 从而 mA (H)=0．设 mH(x)是 H 的最小多项式，则 mH(x)是 mA (x)的一个因子． ② 设 V 是一个 F 上的线性空间，σ∈ℒ(V)，σ的最小多项式 m(λ)，设 h(λ)∈ F[λ]．证明：如果(m(λ),h(λ))=1，则 h(σ)是可逆的． 证 如果(m(λ),h(λ))=1，则存在多项式 v1(λ),v2(λ)，使 v1(λ) m(λ)+v1(λ)h(λ)=1 从而 v1(σ) m(σ)+v1(σ)h(σ)=idV 因为 m(σ)=0 所以 v1(σ)h(σ)=idV 考虑多项式的交换性知 v1(σ)是 h(σ)的逆变换． 六、（12 分）设σ∈ℒ(V)，dim(V)=n，并且σ在基{β1, β2,..., βn}下的矩阵是 J(λ0,n)．证 明：①如果 W≠{0}是一个σ子空间，则βn∈W．②V 不可能是两个非平凡的子空 间的直和． 证 ① 如果 W 是σ子空间，它必然也是(σ-id)不变子空间，且 (σ-id)( βj)= βj+1 取α∈W，α≠0，可表示为 α=k1α1+ k2α2+...+ knαn 设 ks是不为零的系数中下标最小的一个，则有 α=ksαs+ ks+1αs+1+...+ knαn 用(σ-id) n-s 对上式两端变换得 (σ-id) n-s (α)= ksβn 由于 ks≠0，上式左端属于 W，所以βn属于． （8 分） 证 ② 假设 V 是两个非平凡的子空间 W，U 的直和，根据①知，βn∈W，βn∈U， 矛盾．所以 V 不可能是两个非平凡的子空间的直和． （4 分）