定理5.设S是V的非空子集 )L(S)是V的子空间,设V是包含S的子空间,则L(S)sV,因此L(S)=∩erV,其中V,i∈ 是V的包含L(S)的所有子空向 (2)设V1,V2是V的子空间,则L(V1uV2)=Vi+V2 (3)Lat:a2,……:a)=L(12,…,)的充分必要条件是a1a2,…,a,与:,…,房等价; (4)设a1:02,…,am是S中极大线性无关组,则L(S)=L(a1,a2,…,am),且 dim L(S)=m. 设V1,V2,…,V是线性空间V的子空间,对1<i≤m均有 则称和V1+V2+…+Vn为直和,记为V⊕V26…Vm 定理6.设V1,V2是有限维空间V的子空间,则下列命题等价: (1)V=V1eV,即V=Vi+V2,且Vi∩V=0 2)对任意的a∈V,a=a1+2,其中a1∈Va2∈V,若还有a=B1+B2,A1∈H1:A∈12, 则a=A1,an2=A2; 3)V的基c1,……,a,与V的基岛,…A凑成V的基a,…,a,ah,……,异; 定理7(维数公式).设V1,V2是V的子空间,则 dim(Vi+V2)+dim(Vin V2)=dim(Vi)+dim(v2) 例1,求证:(1)若a1,2,…,a线性无关,a1,a2,…,a,B线性相关,则B可由a1,a 线性表出且表示法唯 线性相关,则a1,a2,……,a,a+1,…,,+也线性相关; (3)若F中的向量组a1,a2,…,a,线性尤关,则ax,a2,…,。增加分量后得到的向量组也线性尤 关; 4)n维线性空间V中的任意n+1个向量必线性相关 例2.设向量组a1:Q2,……,4-1(s≥3)线性相关,向量组ce2,a3,…:O,线性无关.问 (1)a1能否由O2,3,……:O-1线性表示? (2)cx,能否由a1,x2,……,ax-1线性表示? 例3.设A∈F×n,Am-1≠0,Am=0,则存在∈F",使得a,Ao1A2o,……,Am-a线性无 证明提要:因为A-1≠0.所以存在Q∈P1,使得Am-≠0. 量 新编号,使得用(an;2,…:ar}代替{31,A,……,以}得到的向量组{an,…,O",+1,…,}与(*) 证明提要:由定理3,知r<t.对t-r做数学归纳.当s-t=0时,对任意的1<<t,必有 }线性表出,故两 者等价.当N>t时,若对任意的,1≤i≤t,均有a1:2,…,(,线性相关,即1,…,可由 2,……,a线性表出.任取{1,…,}即可.若存在A,使得c12a2,…,a2B线性无关,由归纳 假设,存在01,2,……,①,B,B++2,…:B与(*)等价