例5.求Fm的基和维数 例6.设W1≤i≤t是线性空间V的真子空间,则存在非零向量∈V,使得g凵{ 证明提要:用t数学归纳法,当t=2时,易证命题成立 当t=6时,分三种懵况讨论.第一W.gU-W;第二.W卫U-1W第三.存在∈ U}W\W,n∈WU}=W,我们断言,存在k∈F使得(+gU=1W,否则,若对于任意的 k∈F,都有+h∈u=1W,因为只有有限个W,所以存在k,k2和Wn,i∈{1,2,…,s},使得 文+km,(+k2∈W,这样导致∈Wa,U=1W,与n的取法矛盾 例7.设S是n阶对称矩阵的全体,T是n阶反对称矩阵的全体 (1)求证S,T是V的子空间 (2)求S,T的维数和一个基 (3)证明V=S⊕T 题1.填空题.在P4中 (1)由基=(1,2,-1,0),2=(1,-1,1,1),s3=(-1,2,1,1),4=(-1,-1,0,1)到 (2,1,0,1),l=(0,1,2,2),=(-2,1,1,2),m=(1,3,1,2)的过渡矩阵是 (2)向量=(-2,1,-1,2)在mP2,3,下的坐标是- (3)向量B它在基,2,,和m,,,7下有相同的坐标,则 4)a1=(1,2,1,-2),02=(2,3,1,0),03=(1,2,2,-3),A1=(1,1,1,1),A2=(1,0.1,-1), 的维数是--,它的一个基是 它的一个基是---------- 题2.将=(1,2,1,1)表为向量组a1=(1,1,-1,-1),a2=(1,1,-1,-1),as=(1,-1,1,-1), 4=(1,-1,-1,1}的线性组合 题3.设向量可由向量组O1,a2,…,,线性表示,但小能向量组a1,a2,…,m-1线性表示,试 (1)a,不能由a1:2,…,a、-1线性表出 (2),可由a1,Q2,…,-1,3线性表出 题4.(1)已知向量组O1:a2,…,a。的秩为T,证明a1:0x2,……,a。中任意r个线性关的向量都构 成它的一个极大线性无关组 (2)已知两个向量组有相同的秩,且其中一个可由另一个线性表出证明这两个向量组等价 題5.在F2×2中,(1= 62,a3=113 (a1,2,a3,a4)的组基和维数,并扩为P2×2的一个基 題6.设A∈Fn (1)证明与A可交换的全体矩阵构成F的子空间,记为C(A} (2)当A=E时,求C(A (3)当A=0010 0001 求C(A)的基和维数