第五章向量分析 第五章向量分析 5-2 Green公式、平面有势场 5-2-1 Green公式 5-2-2第二型曲线积分与路径无关性 5-2-3势函数与有势场 第十八讲 Green公式、平面有势场 课后作业 阅读:第五章第二、三节: Green公式pp.152--164 预习:第五章第四节:第二型曲面积分pp.165-172 作业:习题2:pp.158-159:1,(2),(4),(6),(7);2;4;5. 习题3:pp.164-165:1,(3),(4);4;5 5-2 Green公式、平面有势场 本节专门讨论平面向量场 F(x,y)=X(x, y)i+r(x,y)j 5-2-1 Green公式 设F:DcR2→R2,F(x,y)=X(x,y)2+Y(x,y)j 其中D是一个有界区域, 域与边界定向的关系:边界aD是逐段光滑的简单有向闭曲线(曲 线不自相交),其正向是为使区域D总在左侧 定理( Green公式):设 (1)DcR是一个有界闭区域,其边界a是逐段光滑的有向 的简单闭曲线 )F(x,y)=X(x,y)i+Y(x,y)在D上连续、在内部连续 可微 则有,fF于+=一b 证明:根据结论 Y=0→「Xax dxd小 X=0→4d dxc 第五章向量分析第五章 向量分析 第五章 向量分析 第五章 向量分析 5-2 Green 公式、平面有势场 5-2-1 Green 公式 5-2-2 第二型曲线积分与路径无关性 5-2-3 势函数与有势场 第十八讲 Green 公式、平面有势场 课后作业： 阅读：第五章 第二、三节: Green 公式 pp. 152---164 预习：第五章 第四节: 第二型曲面积分 pp. 165---172 作业: 习题 2: pp.158---159 : 1, (2), (4), (6), (7); 2; 4; 5. 习题 3: pp.164---165 : 1, (3), (4); ; 4; 5. 5-2 Green 公式、平面有势场 本节专门讨论平面向量场: F x y X x y i Y x y j    ( , ) = ( , ) + ( , ) 5-2-1 Green 公式 ⚫ 设 2 2 F : D  R → R  , F x y X x y i Y x y j    ( , ) = ( , ) + ( , ) 其中 D 是一个有界区域, 域与边界定向的关系：边界 D 是逐段光滑的简单有向闭曲线(曲 线不自相交), 其正向是为使区域 D 总在左侧. ⚫ 定理 (Green 公式): 设 (1) D  R 2 是一个有界闭区域,其边界 D 是逐段光滑的有向 的简单闭曲线; (2) F x y X x y i Y x y j    ( , ) = ( , ) + ( , ) 在 D 上连续、在内部连续 可微. 则有, dxdy y X x Y F dl Xdx Ydy D D D ( )       = + = −       证明: 根据结论:   =  = − D D dxdy y X Y Xdx    0 ,   =  = − D D dxdy x Y X Ydy    0 , y y=y2(x) L2 A B y=y1(x) L1 a b x