第五章向量分析 因此只须分别证明以下两式 ax=-a,地y dxdy 以下只证明其中的第一式 先考虑一种简单情形,即区域D可以表示为下面的形式 <y< y()y≤n2(x) 其中y(x)y2(x)是[a,6上的连续可微函数 边界D由光滑曲线L1,L2组成 将[xd化成累次积分可以得到 dxdy dv)dx [X(xy2(x))-X(xy2(x))Jd X(xy2(x)dx-X(xy(x)x 在一般情形,即D为任意区域时,可以用辅助线将D分成几个小区 域DA3…D.其中每个区域都是上述简单情形.定理得证 等式称为Gren公式 例1:利用Grem公式用曲线积分表示平面图形的面积: xay- yar kxdh=‖do= D aa 例如对于椭圆D:x+)≤1,如果令x= acos e, y=bsmB则 σ=4xdhy=| ab cos2a=mb 例2:计算积分/=(2-2xysm(x2)+cosx2) 其中L为椭圆立+=1的右半部分.(x20) 正向为逆时针方向. 第五章向量分析第五章 向量分析 第五章 向量分析 因此只须分别证明以下两式:     = − = D D D D dxdy x Y dxdy Ydy y X Xdx       , . 以下只证明其中的第一式. 先考虑一种简单情形,即区域 D 可以表示为下面的形式:              = ( ) ( ) ( , ) | 1 2 y x y y x a x b D x y 其中 y (x) y (x) 1 2 , 是 [a,b] 上的连续可微函数. 边界 D 由光滑曲线 1 2 L ,L 组成. 将 dxdy y X D    化成累次积分可以得到 dy dx y X dxdy y X D b a y x y x ( ) ( ) ( ) 2 1    =     = X x y x X x y x dx b a [ ( . ( )) ( . ( ))]  2 − 2 =     = + − = − 1 2 ( . ( )) ( . ( )) 2 1 D L L b a b a X x y x dx X x y x dx Xdx 在一般情形,即 D 为任意区域时,可以用辅助线将 D 分成几个小区 域 D1 ,...,Dk .其中每个区域都是上述简单情形. 定理得证. 等式称为 Green 公式. 例 1: 利用 Green 公式用曲线积分表示平面图形的面积： dxdy d D y X x Y xdy ydx D D D − = − = =          ( ) 2 1 2 1 例如对于椭圆 D : 2 2 2 2 1 x a y b +  ,如果令 x = acos, y = bsin , 则 cos . 2 0 2 xdy ab d ab D       = = =   例 2:计算积分  = − + L I (y 2xysin( x )dx cos(x )dy, 2 2 2 其中 L 为椭圆 2 2 2 2 1 x a y b + = 的右半部分.(x  0) , 正向为逆时针方向