第五章向量分析 解:设L是起,终点分别为A(0,-b),B(0,b)的直线 D表示右半椭圆x+2≤1(x≥0).则由Gren公式得到 J(2-2xysin(x2)dr+cos(x2)dy & os(2-o (--2xysin( x lardy ∫j2b=-2 b[brsin eabrdrde 2ab sin 00 r2dr=o 2 是1=0y2-2ym(x)+ox)==21 例3:计算积分「 xdy- ydx 其中L为任何包含原点的光滑简单 闭曲面,逆时针方向 解:设L为圆周x2+y2=r2,逆时针为正r为充分小而使其位于L 之内。记X= x+1,显然有:除原点外 aX a 对于L与L所夹环形区域D及其边界,用 Green公式得到 xdy-ydx 2x r(cos+sin 0) d6=2x 例4:设平面流场,流速向量 U(x.,_((x d C是一条闭的光滑的有向曲线 正方是逆时钟方向 求流出这闭曲线之流量 第五章向量分析第五章 向量分析 第五章 向量分析 解:设 L1 是起,终点分别为 A(0,−b),B(0,b) 的直线. D 表示右半椭圆 2 2 2 2 1 x a y b +  (x  0) . 则由 Green 公式得到 y x y x dxdy y x x y x y x dx x dy D L L [ cos( ) ( 2 sin( ))] ( 2 sin( ) cos( ) 2 2 2 2 2 2 1 = − − − +   −     =   − = − D D 2ydxdy 2ab brsin abrdrd.   − = − = 2 2 1 0 2 2 2 sin 0   ab d r dr 于是 ( 2 sin( )) cos( ) 2 . 2 2 2 1   − = − + = = b L b I y x y x dx x dy dy b 例 3:计算积分  + − L x y xdy ydx 2 2 .其中 L 为任何包含原点的光滑简单 闭曲面,逆时针方向. 解: 设 L1 为圆周 2 2 2 x +y = r ,逆时针为正.r 为充分小而使其位于 L 之内。记 X y x y Y x x y = − + = + 2 2 2 2 , , 显然有：除原点外     X y Y x − = 0. 对于 L 与 L1 所夹环形区域 D 及其边界，用 Green 公式得到 0 .  2 2   2 2 + − = + + − L D L x y xdy ydx dxdy x y xdy ydx = 2 . 2 (cos sin ) 0 2 2 2 2      = +  d r r 例 4: 设平面流场，流速向量 ( ) ( ) ( )         = v x y u x y U x y , , ,  , C 是一条闭的光滑的有向曲线， 正方是逆时钟方向. 求流出这闭曲线之流量。 y dl dn D x