第五章向量分析 解:流过小弧段而=j-di J·而=J-(x,y+ (u,y)dx - dx 直观的解释: 没过边长为dx,dy的长方形的流量 au av →Q= 5-2-2第二型曲线积分与路径无关性 平面曲线积分与路线无关 设F=X(x,y)+Y(x,y)j.平面区域D上的连续向量场。 如果曲线积分「Fd只与曲线的起点和终点有关,而与曲 线L本身的路线无关,则称该积分与路线无关 积分与路线无关的向量场称为有势场或保守场 ·定理:DR为区域,F=X(x,y)+Y(x,y)是D上的连续 可微的向量场,则以下命题互相等价 1).积分Fd与路线无关 (2).对于D中的任意闭曲线C,有M+地=0. (3).F=X(x,y)+Y(x,y)在D上有单值的势函数 即存在可微函数∫(x,y),使得 Vx,y)=x(x, y)i+Y(x,y)j 证明:(1)◇(2)是十分明显的。留给读者 现证:(1)→(3) (3)→(1):今有函数∫(x,y),使得 vfx,y)=x(x,yi+Y(x,y)j 第五章向量分析第五章 向量分析 第五章 向量分析 解：流过小弧段 dn dx j dy i    = − ( ) ( )   =  = − + C C Q U dn v x, y dx u x, y dy   =            +   D dxdy y v x u 直观的解释： 没过边长为 dx,dy 的长方形的流量： dxdy y v x u dy dx y v dx dy x u dQ           +   =            +        = ,             +   = D dxdy y v x u Q 5-2-2 第二型曲线积分与路径无关性 ⚫ 平面曲线积分与路线无关: 设 F X x y i Y x y j    = ( , ) + ( , ) .平面区域 D 上的连续向量场。 如果曲线积分   L F dl   只与曲线的起点和终点有关, 而与曲 线 L 本身的路线无关, 则称该积分与路线无关. 积分与路线无关的向量场称为有势场或保守场. ⚫ 定理: D  R 2 为区域, F X x y i Y x y j    = ( , ) + ( , ) 是 D 上的连续 可微的向量场,则以下命题互相等价: (1). 积分   L F dl   与路线无关; (2). 对于 D 中的任意 闭曲线 C ,有  + = C Xdx Ydy 0. (3). F X x y i Y x y j    = ( , ) + ( , ) 在 D 上有单值的势函数, 即存在可微函数 f (x, y), 使得 f (x y) X(x y)i Y(x y)j    , = , + , . 证明: (1)  (2)是十分明显的。留给读者。 现证：(1)  (3) (3)  (1): 今有函数 f (x, y), 使得 f (x y) X(x y)i Y(x y)j    , = , + , 即     f x X x y f y = ( , ), = Y(x, y). v + dy y v   dy (u ,v) dx u+ dx x u  