第五章向量分析 对于任意一条起点A和终点B的逐段光滑有向闭曲线L 假定它们参数方程为 (y=yo(asts By 并且A=(x(a),y(a),B=(x(),y().则有 xx+2=J[x(x()y()x()+V(x)y()yojd dt=f(B)-f(A 因此积分与路线无关 (3)←(1)在区域D中任意取定一点M(xo,y) 对于D中任意一点M(x,y),L是D中以M0,M为起终点的中 任一光滑曲线:定义 M(x, y) f(M)=xx+h=「xax+hy Mo(xo, yo) 由于积分与路线无关,所以函数∫在D上是确定的 下面证明对任意M(x,y)∈D有: Vf(x, y)=X(x,y,)i+y(x,y)j f(x+△x,y+△y)-f(x,y) (x+Ax, y: Ay) L Xdx+Ydv- Xdx+Yd Xdx+ Yd >风彡 由于积分与路线无关,可以按照如图方式取L=L1∪L2,只要 Δx,△y充分小,这是可行的。 这样以来,我们有 f(x+Ax,yAy)-f(x, y)=Xdx+Ydy y+Ay ∫x+=」x+j(+AxA =X(x+B△x,y)x+Y(x+△x,y+24y)y 第五章向量分析第五章 向量分析 第五章 向量分析 对于任意一条起点 A 和终点 B 的逐段光滑有向闭曲线 L , 假定它们参数方程为 ( )  ( )   = = y y t x x t , (  t   ) 并且 A = (x(), y()),B = (x(), y()). 则有 Xdx Ydy X x t y t x t Y x t y t y t dt L + = [ ( ( ), ( )) ( ) + ( ( ), ( )) ( )]     =  = −   dt f (B) f (A). dt df 因此积分与路线无关. (3)  (1) 在区域 D 中任意取定一点 0 0 M x y0 ( , ). 对于 D 中任意一点 M (x , y ), L 是 D 中以 M0 ,M 为起终点的中 任一光滑曲线: 定义 ( )   = + = + ( , ) , 0 0 0 ( ) M x y L M x y f M Xdx Ydy Xdx Ydy 由于积分与路线无关,所以函数 f 在 D 上是确定的. 下面证明对任意 M(x, y) D 有： f (x, y) = X x y i Y x y j   ( , ,) + ( , ) . f (x + x, y + y) − f (x, y) =   + − + + + ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 0 0 0 0 x y x y x x y y x y Xdx Ydy Xdx Ydy = ( ) ( )  + + + x x y y x y Xdx Ydy , , 由于积分与路线无关,可以按照如图方式取 L = L1  L2 , 只要 x,y 充分小，这是可行的。 这样以来,我们有 f (x + x, y + y) − f (x, y) = ( ) ( )  + + + x x y y x y Xdx Ydy , , =   + L1 L2 Xdx Ydy = X (t y)dt Y(x x t)dt y y y x x x   + + , + +  , = X(x + x y)x +Y(x + x y + y)y 1 2  , ,  (x + x, y + y) L2 (x, y) L1