第五章向量分析 (x(x, y)+o1)Ax+(r(x,y)+o(D)Ay X(x, yAx+Y(x, y)Ay+o(0)Ax+oOAy 由可微的定义可知 引(xy)=x(x,y)-ay of(x,y) =Y(x, y) 定理证毕 原函数:当f(x,y)是Vf(x,y)=X(x,y,)+Y(x,y)时, 即:df(x,y)=X(x,y)h+Y(x,y)d是函数的全微分.这时 这时,我们称f(x,y)X(x,y)dx+Y(x,y)h的一个原函数 也称为的向量场F=X(x,y)i+Y(x,y)的一个势函数 表达式X(x,y)dx+Y(x,y)dh称为微分形式 容易证明:一个有势场的势函数(或原函数)不是唯一的,但是任 意两个势函数(或原函数)之间差一个常数 例5:设D是xy平面除掉原点得到的区域在D中,函数 f(x,y)=h√x2+y2 是向量场F(x,y y 的一个势函数.因此对于原点以外 的任意两点A(x,y),B(x2,y2)与任意一条以A为起点,以B为终点的 逐段光滑曲线L,有 F=「k+1=h+一x+ 单连通区域:平面区域D为单连通区域,是指D内任意一条简单 闭曲线所围之域仍在D内 例如,圆盘x2+y2<4是单连通区域,但是在其中除去一个点 所剩下的区域不是单连通区域 连通但非单连通的区域称为复连通区域 定理:设D为xy平面上的单连通区域, F=X(, y)i+y(x, y)j 是D上的连续可微向量场.则下列命题互相等价: (1).F=X(x,y)i+Y(x,y)j是有势场 (2).F=X(x,y)+Y(x,y)j满足可积性条件:即 第五章向量分析第五章 向量分析 第五章 向量分析 = (X(x, y)+ o(1))x + (Y(x, y)+ o(1))y = X(x, y)x +Y(x, y)y + o(1)x + o(1)y 由可微的定义可知：   f x y x X x y ( , ) = ( , ). ( , ). ( , ) Y x y y f x y =   定理证毕. ⚫ 原函数：当 f (x, y) 是 f (x y) X x y i Y x y j    , = ( , ,) + ( , ) 时， 即： df (x, y) = X(x, y)dx +Y(x, y)dy 是函数的全微分. 这时， 这时,我们称 f (x, y) X(x, y)dx +Y(x, y)dy 的一个原函数. 也称为的向量场 F X x y i Y x y j    = ( , ) + ( , ) 的一个势函数; 表达式 X(x, y)dx +Y(x, y)dy 称为微分形式. 容易证明：一个有势场的势函数(或原函数)不是唯一的, 但是任 意两个势函数(或原函数)之间差一个常数. 例 5: 设 D 是 xy 平面除掉原点得到的区域.在 D 中, 函数 f (x, y) = ln x +y 2 2 是向量场 2 2 ( , ) x y xi yj F x y + + =    的一个势函数. 因此对于原点以外 的任意两点 A(x1 , y ),B(x , y ) 1 2 2 与任意一条以 A 为起点,以 B 为终点的 逐段光滑曲线 L,有 ln ln . 2 1 2 1 2 2 2 2 F dl Xdx Ydy x y x y L L  = + = + − +     ⚫ 单连通区域：平面区域 D 为单连通区域, 是指 D 内任意一条简单 闭曲线所围之域仍在 D 内. 例如, 圆盘 x y 2 2 +  4 是单连通区域,但是在其中除去一个点, 所剩下的区域不是单连通区域. 连通但非单连通的区域称为复连通区域. ⚫ 定理: 设 D 为 xy 平面上的单连通区域, F X x y i Y x y j    = ( , ) + ( , ) 是 D 上的连续可微向量场. 则下列命题互相等价: (1). F X x y i Y x y j    = ( , ) + ( , ) 是有势场; (2). F X x y i Y x y j    = ( , ) + ( , ) 满足可积性条件：即